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이 문제를 처음 들었을 때 저는 태평양 북서부의 작은 대학에서 300 레벨의 수학 통계 과정에 앉아있었습니다. 약 30 명의 학생으로 이루어진 학급이었고 교수는 우리 중 적어도 두 명은 같은 생일을 공유했다고 내기했습니다.

그는 모든 사람에게 생일을 알리도록했습니다. 제 차례가되었을 때 저는 제 생년월일을 “두 입방, 세 입방”이라고 밝혔습니다. 그래서 우리의 대뇌 교수가 날짜를 해독하는 데 시간이 좀 걸렸을 때 학급을 웃게 만들었습니다.

어쨌든 그가 도착하기 전에 예상했던 것처럼 마지막 학생에게 일치하는 생일 쌍을 찾았습니다.

그렇다면 일치하는 쌍을 찾은 것이 얼마나 운이 좋았습니까?

예열

가정 : 단순함을 위해 2 월 29 일에 태어날 가능성을 무시하겠습니다.

우리의 두뇌를 따뜻하게하는 간단한 예부터 시작하겠습니다.

두 사람이 같은 생일을 공유합니까?

A는 우리가 요청하는 첫 번째 사람이기 때문에 일년 중 어느 날 에나 태어날 수 있습니다. 일년 중 어느 날이 태어날 확률은 1 또는 보다 구체적으로 : 365/365.

B가 A와 같은 날에 태어나야하기 때문에 확률은 1/365입니다.

우리는이 두 가지 사건이 모두 발생하기를 원합니다. 확률 곱하기 :

따라서 낯선 사람에게 다가 가서 그들의 생일이 당신과 같은 날임을 발견 할 확률이 0.27 %입니다. 꽤 날씬합니다.

하지만 더 큰 그룹은 어떻습니까?

4 명 중 최소 2 명이 같은 생일을 공유 할 가능성은 얼마나됩니까?

좋습니다. 이 문제를 해결하려면 다음을 모두 계산해야합니다.

• 확률 A와 B는 같은 생일을 공유합니다.
• 확률 A와 C는 같은 생일을 공유합니다.
• 확률 A와 D는 같은 생일을 공유합니다.
• 확률 B와 C는 같은 생일을 공유합니다.
• 확률 B와 D는 같은 생일을 공유합니다.
• 확률 C와 D는 같은 생일을 공유합니다.
• 확률 A, B, C는 같은 생일을 공유합니다.
• 확률 B, C, D는 같은 생일을 공유합니다.
• 확률 A , C, D는 같은 생일을 공유합니다.
• 확률 A, B, D는 같은 생일을 공유합니다.
• 확률 A, B, C, D는 모두 같은 생일을 공유합니다.

네, 많은 계산 이군요! 30 명의 학생으로 구성된 교실에 대해 얼마나 많은 확률을 계산해야할지 상상해보세요!

더 나은 방법이 있어야합니다…

더 나은 방법 : 보완의 비결

바 질리언 확률을 계산하는 가장 간단한 방법은 문제를 다른 각도에서 보는 것입니다.

아무도 같은 생일을 공유하지 않을 확률은 얼마입니까?

이 대체 운동은 원래 문제 (즉, 보완)와 완전히 반대이기 때문에 도움이됩니다. 확률 적으로 우리는 가능한 모든 결과 (예 : 샘플 공간)의 합계가 항상 1 또는 100 % 확률이라는 것을 알고 있습니다.

최소한 2 명이 같은 생일과 같은 생일을 가질 가능성이 있기 때문입니다. 같은 생일을 가진 사람이 모든 가능한 시나리오를 포함하지 않을 확률은 확률의 합이 1이라는 것을 알고 있습니다.

또는 동등하게 :

Yay! 계산하기 훨씬 쉬울 것입니다.

계산

굉장합니다! 마침내 교수님의 내기가 얼마나 안전한지 확인할 준비가되었습니다.

30 명의 방에서 같은 생일을 공유하는 사람이 없을 확률을 계산해 보겠습니다.

이 단계를 단계별로 진행해 보겠습니다.

• 첫 번째 학생은 언제든지 태어날 수 있으므로 365/365의 확률을 제공합니다.
• 다음 학생은 이제 364 일로 제한되므로 두 번째 학생의 확률은 364/365입니다.
• 세 번째 학생은 남은 363 일 중 하나에 태어날 수 있으므로 363/365입니다.

이 패턴은 계속되어 마지막 학생의 확률이 336이됩니다. / 365 (전 학생이 29 일의 잠재적 인 일을 다 사용한 후 365 ~ 29 일)

30 개의 확률을 모두 다시 곱합니다.

잠시만 요! 약간 지저분합니다. 정리합시다.

분모는 365가 30을 곱한 것이므로 다음과 같이 다시 쓸 수 있습니다.

계승 (기호 :!)을 사용하여이 계산을 추가로 정리해 보겠습니다.

(계승은 내림차순 양의 정수를 곱하는 데 유용합니다. 예를 들어 5!는 5 • 4 • 3 • 2 • 1 = 120.)

계승 사용, 365! 365에서 1까지의 모든 내림차순 정수의 곱과 같습니다. 365에서 336까지의 정수의 곱만 필요하므로 365를 나누어 불필요한 숫자를 나눌 것입니다! 작성자 : 335!.

참고 : 이것이 혼란 스러우면 5와 같이 더 작은 값을 시도하십시오! /삼! = 5 • 4 • 3 • 2 • 1 / 3 • 2 • 1. 3 • 2 • 1이 어떻게 분자와 분모에 있는지 확인하십시오. 그들은 5! / 3를 만드는 ‘취소’! = 5 • 4.

이 모든 것을 종합하면 이제 공학용 계산기에 쉽게 입력 할 수있는 표현식이 생겼습니다.

이는 0.294 또는 29.4 % 확률로 계산되는 클래스의 어느 누구도 같은 생일을 갖지 않습니다. 물론, 우리는 보완을 원하므로 30 인 그룹에서 최소 2 명이 같은 생일을 공유 할 확률을 찾기 위해 1에서 빼겠습니다.

교수에게는 매우 안전한 선택이었습니다! 그는 우리 중 2 명 이상이 생일을 공유 할 확률이 거의 71 %에 달했습니다.

50 번의 기회

많은 사람들이이 계산을 다음과 같이 반복하면 놀라움을 금치 못합니다. 23 명으로 구성된 그룹은 같은 날에 최소 두 사람이 태어날 확률이 50 %입니다.

생일이 365 일이라는 점을 고려하면 상대적으로 적은 그룹입니다. 즉, 23 명 이상의 그룹에서 최소 2 명이 같은 생일을 공유 할 가능성이 있습니다.

정말 미친 작은 사실입니다!

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