무작위 변수 (또는 벡터) X의 확률 밀도 함수가 fX (x)로 주어지면 다음을 계산할 수 있습니다 (하지만 종종 필요하지는 않습니다. 아래 참조). 일부 변수의 확률 밀도 함수 Y = g (X). 이를 “변수 변경”이라고도하며 실제로 알려진 (예 : 균일 한) 난수 생성기를 사용하여 임의 모양 fg (X) = fY의 임의 변수를 생성하는 데 사용됩니다.

It 기대 값 E (g (X))를 찾으려면 먼저 새로운 랜덤 변수 Y = g (X)의 확률 밀도 fg (X)를 찾아야한다고 생각하고 싶지만 계산보다는

E ⁡ (g (X)) = ∫ − ∞ ∞ yfg (X) (y) dy, {\ displaystyle \ operatorname {E} {\ big (} g (X) {\ big)} = \ int _ {-\ infty} ^ {\ infty} yf_ {g (X)} (y) \, dy,}

대신 찾을 수 있습니다

E ⁡ (g (X)) = ∫ − ∞ ∞g (x) f X (x) dx. {\ displaystyle \ operatorname {E} {\ big (} g (X) {\ big)} = \ int _ {-\ infty} ^ {\ infty} g (x) f_ {X} (x) \, dx.}

두 적분의 값은 X와 g (X)가 실제로 확률 밀도 함수를 갖는 모든 경우에 동일합니다. g가 a 일 필요는 없습니다. 일대일 함수 일부 경우 후자의 적분은 전자보다 훨씬 쉽게 계산됩니다. 의식적인 통계 학자입니다.

스칼라를 스칼라로 편집

Let g : R → R {\ displaystyle g : {\ mathbb {R}} \ rightarrow {\ mathbb {R}}} 단조 함수, 결과 밀도 함수는 다음과 같습니다.

f Y (y) = f X (g − 1 (y)) | d d y (g − 1 (y)) | . {\ displaystyle f_ {Y} (y) = f_ {X} {\ big (} g ^ {-1} (y) {\ big)} \ left | {\ frac {d} {dy}} {\ big (} g ^ {-1} (y) {\ big)} \ right |.}

여기서 g−1은 역함수를 나타냅니다.

이것은 확률이 변수 변경시 미분 영역은 변하지 않아야합니다. 즉,

| f Y (y) d y | = | f X (x) d x | , {\ displaystyle \ left | f_ {Y} (y) \, dy \ right | = \ left | f_ {X} (x) \, dx \ right |,}

또는

f Y ( y) = | d x d y | f X (x) = | d d y (x) | f X (x) = | d d y (g − 1 (y)) | f X (g − 1 (y)) = | (g − 1) ′ (y) | ⋅ f X (g − 1 (y)). {\ displaystyle f_ {Y} (y) = \ left | {\ frac {dx} {dy}} \ right | f_ {X} (x) = \ left | {\ frac {d} {dy}} (x ) \ right | f_ {X} (x) = \ left | {\ frac {d} {dy}} {\ big (} g ^ {-1} (y) {\ big)} \ right | f_ {X } {\ big (} g ^ {-1} (y) {\ big)} = {{\ big |} {\ big (} g ^ {-1} {\ big)} “(y) {\ big |}} \ cdot f_ {X} {\ big (} g ^ {-1} (y) {\ big)}.}

단조가 아닌 함수의 경우 y에 대한 확률 밀도 함수는 다음과 같습니다.

∑ k = 1 n (y) | ddygk − 1 (y) | ⋅ f X (gk − 1 (y)), {\ displaystyle \ sum _ {k = 1} ^ {n (y)} \ left | {\ frac {d} {dy}} g_ {k} ^ {-1} (y) \ right | \ cdot f_ {X} {\ big (} g_ {k} ^ {-1} (y) {\ big)},}

Vector to vectorEdit

위의 공식은 둘 이상의 다른 변수에 따라 변수 (다시 y라고 부름)로 일반화 할 수 있습니다. f (x1, …, xn)은 y가 의존하는 변수의 확률 밀도 함수를 나타내며, 종속성은 y = g (x1,…, xn)입니다. 그러면 결과 밀도 함수는

∫ y = g (x 1 ,…, xn) f (x 1,…, xn) ∑ j = 1n ∂ g ∂ xj (x 1,…, xn) 2 d V, {\ displaystyle \ int \ lim _ {y = g (x_ {1}, \ ldots, x_ {n})} {\ frac {f (x_ {1}, \ ldots, x_ {n})} {\ sqrt {\ sum _ {j = 1} ^ {n} {\ frac {\ partial g} {\ partial x_ {j}}} (x_ {1}, \ ldots, x_ {n}) ^ {2}}}} \, dV,}

적분은 아래 첨자 방정식의 전체 (n-1) 차원 솔루션에 걸쳐 있고 기호 dV는 특정 계산을 위해이 솔루션의 매개 변수화로 대체되어야합니다. 변수 x1, …, xn은 당연히이 매개 변수화의 함수입니다.

이것은 아마도 더 직관적 인 다음 표현에서 파생됩니다. x가 관절 밀도 f를 갖는 n 차원 랜덤 변수라고 가정합니다. y = H (x) (여기서 H는 bijective 미분 함수)이면 y는 밀도 g를 갖습니다.

g (y) = f (H − 1 (y)) | det | {\ displaystyle g (\ mathbf {y}) = f {\ Big (} H ^ {-1} (\ mathbf {y}) {\ Big)} \ left \ vert \ det \ left \ right \ vert}

미분은 H (.)의 역의 야 코비 행렬로 간주되며 y에서 평가됩니다.

g (y 1, y 2) = f X 1, X 2 (H 1 − 1 (y 1, y 2), H 2 − 1 (y 1, y 2)) | ∂ H 1 − 1 ∂ y 1 ∂ H 2 − 1 ∂ y 2 − ∂ H 1 − 1 ∂ y 2 ∂ H 2 − 1 ∂ y 1 | . {\ displaystyle g (y_ {1}, y_ {2}) = f_ {X_ {1}, X_ {2}} {\ big (} H_ {1} ^ {-1} (y_ {1}, y_ { 2}), H_ {2} ^ {-1} (y_ {1}, y_ {2}) {\ big)} \ left \ vert {\ frac {\ partial H_ {1} ^ {-1}} { \ partial y_ {1}}} {\ frac {\ partial H_ {2} ^ {-1}} {\ partial y_ {2}}}-{\ frac {\ partial H_ {1} ^ {-1}} {\ partial y_ {2}}} {\ frac {\ partial H_ {2} ^ {-1}} {\ partial y_ {1}}} \ right \ vert.}

벡터를 스칼라로 편집

f Y (y) = ∫ R nf X (x) δ (y − V (x)) dx. {\ displaystyle f_ {Y} (y) = \ int _ {{\ mathbb {R}} ^ {n}} f_ {X} (\ mathbf {x}) \ delta {\ big (} yV (\ mathbf { x}) {\ big)} \, d \ mathbf {x}.}

이 결과는 무의식 통계학 자의 법칙으로 이어집니다.

EY ⁡ = ∫ R yf Y (y) dy = ∫ R y ∫ R nf X (x) δ (y − V (x)) dxdy = ∫ R n ∫ R yf X (x) δ (y − V (x)) dydx = ∫ R n V (x) f X ( x) dx = EX ⁡.{\ displaystyle \ operatorname {E} _ {Y} = \ int _ {\ mathbb {R}} yf_ {Y} (y) dy = \ int _ {\ mathbb {R}} y \ int _ {{\ mathbb {R}} ^ {n}} f_ {X} (\ mathbf {x}) \ delta {\ big (} yV (\ mathbf {x}) {\ big)} \, d \ mathbf {x} dy = \ int _ {{\ mathbb {R}} ^ {n}} \ int _ {\ mathbb {R}} yf_ {X} (\ mathbf {x}) \ delta {\ big (} yV (\ mathbf {x }) {\ big)} \, dyd \ mathbf {x} = \ int _ {{\ mathbb {R}} ^ {n}} V (\ mathbf {x}) f_ {X} (\ mathbf {x} ) d \ mathbf {x} = \ operatorname {E} _ {X}.}

증명 :

H (Z, X) = = {\ displaystyle H (Z, X) = {\ begin { bmatrix} Z + V (X) \\ X \ end {bmatrix}} = {\ begin {bmatrix} Y \\ {\ tilde {X}} \ end {bmatrix}}}

H {\ displaystyle H}가 bijective 매핑이고 H − 1 {\ displaystyle H ^ {-1}}의 야 코비 행렬은 다음과 같이 주어집니다.

d H − 1 (y, x ~) dydx ~ = {\ displaystyle {\ frac {dH ^ {-1} (y, {\ tilde {\ mathbf {x}}})} {dy \, d {\ tilde {\ mathbf {x}} }}} = {\ begin {bmatrix} 1 &-{\ frac {dV ({\ tilde {\ mathbf {x}}})} {d {\ tilde {\ mathbf {x}}}}} \\\ mathbf {0} _ {n \ times 1} & \ mathbf {I} _ {n \ times n} \ end {bmatrix }}},

주 대각선에 1이있는 상부 삼각 행렬이므로 그 행렬식은 1입니다. 이전 섹션에서 변수 정리의 변화를 적용하면 다음을 얻을 수 있습니다.

f Y, X (y, x) = f X (x) δ (y − V (x)) {\ displaystyle f_ {Y, X} (y, x) = f_ {X} (\ mathbf {x}) \ delta {\ big (} yV (\ mathbf {x}) {\ big)}},

x {\ displaystyle x} 이상으로 소외되면 원하는 확률 밀도 함수로 연결됩니다.