Se la funzione di densità di probabilità di una variabile casuale (o vettore) X è data come fX (x), è possibile (ma spesso non necessario; vedere sotto) calcolare la funzione di densità di probabilità di una variabile Y = g (X). Questo è anche chiamato “cambio di variabile” ed è in pratica utilizzato per generare una variabile casuale di forma arbitraria fg (X) = fY utilizzando un generatore di numeri casuali noto (ad esempio, uniforme).

It si è tentati di pensare che per trovare il valore atteso E (g (X)), si debba prima trovare la densità di probabilità fg (X) della nuova variabile casuale Y = g (X). Tuttavia, invece di calcolare

E ⁡ (g (X)) = ∫ – ∞ ∞ yfg (X) (y) dy, {\ displaystyle \ operatorname {E} {\ big (} g (X) {\ big)} = \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} yf_ {g (X)} (y) \, dy,}

si può trovare invece

E ⁡ (g (X)) = ∫ – ∞ ∞ g (x) f X (x) dx. {\ displaystyle \ operatorname {E} {\ big (} g (X) {\ big)} = \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} g (x) f_ {X} (x) \, dx.}

I valori dei due integrali sono gli stessi in tutti i casi in cui sia X che g (X) hanno effettivamente funzioni di densità di probabilità. Non è necessario che g sia a funzione uno-a-uno. In alcuni casi il secondo integrale viene calcolato molto più facilmente del primo. Vedi Legge dell’ONU statistico cosciente.

Da scalare a scalareEdit

Sia g: R → R {\ displaystyle g: {\ mathbb {R}} \ rightarrow {\ mathbb {R}}} un funzione monotonica, la funzione di densità risultante è

f Y (y) = f X (g – 1 (y)) | d d y (g – 1 (y)) | . {\ displaystyle f_ {Y} (y) = f_ {X} {\ big (} g ^ {- 1} (y) {\ big)} \ left | {\ frac {d} {dy}} {\ big (} g ^ {- 1} (y) {\ big)} \ right |.}

Qui g − 1 denota la funzione inversa.

Ciò deriva dal fatto che la probabilità contenuta in un’area differenziale deve essere invariante al variare delle variabili. Cioè,

| f Y (y) d y | = | f X (x) d x | , {\ displaystyle \ sinistra | f_ {Y} (y) \, dy \ right | = \ left | f_ {X} (x) \, dx \ right |,}

o

f Y ( y) = | d x d y | f X (x) = | d d y (x) | f X (x) = | d d y (g – 1 (y)) | f X (g – 1 (y)) = | (g – 1) ′ (y) | ⋅ f X (g – 1 (y)). {\ displaystyle f_ {Y} (y) = \ left | {\ frac {dx} {dy}} \ right | f_ {X} (x) = \ left | {\ frac {d} {dy}} (x ) \ right | f_ {X} (x) = \ left | {\ frac {d} {dy}} {\ big (} g ^ {- 1} (y) {\ big)} \ right | f_ {X } {\ big (} g ^ {- 1} (y) {\ big)} = {{\ big |} {\ big (} g ^ {- 1} {\ big)} “(y) {\ big |}} \ cdot f_ {X} {\ big (} g ^ {- 1} (y) {\ big)}.}

Per le funzioni che non sono monotone, la funzione di densità di probabilità per y è

∑ k = 1 n (y) | ddygk – 1 (y) | ⋅ f X (gk – 1 (y)), {\ displaystyle \ sum _ {k = 1} ^ {n (y)} \ sinistra | {\ frac {d} {dy}} g_ {k} ^ {- 1} (y) \ right | \ cdot f_ {X} {\ big (} g_ {k} ^ {- 1} (y) {\ big)},}

Vector to vectorEdit

Le formule precedenti possono essere generalizzate a variabili (che chiameremo di nuovo y) a seconda di più di un’altra variabile. f (x1, …, xn) dovrà indicare la funzione di densità di probabilità delle variabili da cui dipende y, e la dipendenza sarà y = g (x1,…, xn). Quindi, la funzione di densità risultante è

∫ y = g (x 1 ,…, Xn) f (x 1,…, xn) ∑ j = 1 n ∂ g ∂ xj (x 1,…, xn) 2 d V, {\ displaystyle \ int \ lim è _ {y = g (x_ {1}, \ ldots, x_ {n})} {\ frac {f (x_ {1}, \ ldots, x_ {n})} {\ sqrt {\ sum _ {j = 1} ^ {n} {\ frac {\ partial g} {\ partial x_ {j}}} (x_ {1}, \ ldots, x_ {n}) ^ {2}}}} \, dV,}

dove l’integrale è sull’intera (n – 1) soluzione -dimensionale dell’equazione in indice e il simbolico dV deve essere sostituito da una parametrizzazione di questa soluzione per un calcolo particolare; le variabili x1, …, xn sono quindi ovviamente funzioni di questa parametrizzazione.

Ciò deriva dalla seguente, forse più intuitiva rappresentazione: Supponiamo che x sia una variabile casuale n-dimensionale con densità congiunta f. Se y = H (x), dove H è una funzione biiettiva e differenziabile, allora y ha densità g:

g (y) = f (H – 1 (y)) | det | {\ Displaystyle g (\ mathbf {y}) = f {\ Big (} H ^ {- 1} (\ mathbf {y}) {\ Big)} \ left \ vert \ det \ left \ right \ vert}

con il differenziale considerato come Jacobiano dell’inverso di H (.), valutato a y.

g (y 1, y 2) = f X 1, X 2 (H 1 – 1 (y 1, y 2), H 2 – 1 (y 1, y 2)) | ∂ H 1 – 1 ∂ y 1 ∂ H 2 – 1 ∂ y 2 – ∂ H 1 – 1 ∂ y 2 ∂ H 2 – 1 ∂ y 1 | . {\ displaystyle g (y_ {1}, y_ {2}) = f_ {X_ {1}, X_ {2}} {\ big (} H_ {1} ^ {- 1} (y_ {1}, y_ { 2}), H_ {2} ^ {- 1} (y_ {1}, y_ {2}) {\ big)} \ left \ vert {\ frac {\ partial H_ {1} ^ {- 1}} { \ partial y_ {1}}} {\ frac {\ partial H_ {2} ^ {- 1}} {\ partial y_ {2}}} – {\ frac {\ partial H_ {1} ^ {- 1}} {\ partial y_ {2}}} {\ frac {\ partial H_ {2} ^ {- 1}} {\ partial y_ {1}}} \ right \ vert.}

Vector to scalarEdit

f Y (y) = ∫ R nf X (x) δ (y – V (x)) dx. {\ displaystyle f_ {Y} (y) = \ int _ {{\ mathbb {R}} ^ {n}} f_ {X} (\ mathbf {x}) \ delta {\ big (} yV (\ mathbf { x}) {\ big)} \, d \ mathbf {x}.}

Questo risultato porta alla Legge dello statistico inconscio:

EY ⁡ = ∫ R yf Y (y) dy = ∫ R y ∫ R nf X (x) δ (y – V (x)) dxdy = ∫ R n ∫ R yf X (x) δ (y – V (x)) dydx = ∫ R n V (x) f X ( x) dx = EX ⁡.{\ Displaystyle \ operatorname {E} _ {Y} = \ int _ {\ mathbb {R}} yf_ {Y} (y) dy = \ int _ {\ mathbb {R}} y \ int _ {{\ mathbb {R}} ^ {n}} f_ {X} (\ mathbf {x}) \ delta {\ big (} yV (\ mathbf {x}) {\ big)} \, d \ mathbf {x} dy = \ int _ {{\ mathbb {R}} ^ {n}} \ int _ {\ mathbb {R}} yf_ {X} (\ mathbf {x}) \ delta {\ big (} yV (\ mathbf {x }) {\ big)} \, dyd \ mathbf {x} = \ int _ {{\ mathbb {R}} ^ {n}} V (\ mathbf {x}) f_ {X} (\ mathbf {x} ) d \ mathbf {x} = \ operatorname {E} _ {X}.}

Dimostrazione:

H (Z, X) = = {\ displaystyle H (Z, X) = {\ begin { bmatrix} Z + V (X) \\ X \ end {bmatrix}} = {\ begin {bmatrix} Y \\ {\ tilde {X}} \ end {bmatrix}}}.

È chiaro che H {\ displaystyle H} è una mappatura biiettiva, e lo Jacobiano di H – 1 {\ displaystyle H ^ {- 1}} è dato da:

d H – 1 (y, x ~) dydx ~ = {\ displaystyle {\ frac {dH ^ {- 1} (y, {\ tilde {\ mathbf {x}}})} {dy \, d {\ tilde {\ mathbf {x}} }}} = {\ begin {bmatrix} 1 & – {\ frac {dV ({\ tilde {\ mathbf {x}}})} {d {\ tilde {\ mathbf {x}}}}} \\\ mathbf {0} _ {n \ times 1} & \ mathbf {I} _ {n \ times n} \ end {bmatrix }}},

che è una matrice triangolare superiore con uno sulla diagonale principale, quindi il suo determinante è 1. Applicando il teorema del cambio di variabile dalla sezione precedente si ottiene che

f Y, X (y, x) = f X (x) δ (y – V (x)) {\ displaystyle f_ {Y, X} (y, x) = f_ {X} (\ mathbf {x}) \ delta {\ big (} yV (\ mathbf {x}) {\ big)}},

che, se marginalizzato su x {\ displaystyle x}, porta alla funzione di densità di probabilità desiderata.