Le problùme de l’anniversaire🎈

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La premiĂšre fois que j’ai entendu ce problĂšme, je suivais un cours de statistiques mathĂ©matiques de niveau 300 dans une petite universitĂ© du nord-ouest du Pacifique. C’était une classe d’environ 30 Ă©tudiants et le professeur a pariĂ© qu’au moins deux d’entre nous partageaient le mĂȘme anniversaire.

Il a ensuite demandĂ© Ă  tout le monde de dĂ©clarer son anniversaire. À mon tour, j’ai indiquĂ© ma date de naissance comme «deux cubes, trois cubes», ce qui a fait rire la classe alors que notre professeur cĂ©rĂ©bral a mis du temps Ă  dĂ©chiffrer la date.

Quoi qu’il en soit, comme il l’avait prĂ©dit avant d’arriver Ă  le dernier Ă©lĂšve avait trouvĂ© une paire d’anniversaires correspondants.

Quelle chance a-t-il eu d’avoir trouvĂ© une paire correspondante?

Échauffement

HypothÚse: par souci de simplicité, nous ignorerons la possibilité de naßtre le 29 février.

Commençons par un exemple simple pour réchauffer notre cerveau:

Quelle est la probabilitĂ© que deux personnes partagent le mĂȘme anniversaire?

La personne A peut naĂźtre n’importe quel jour de l’annĂ©e car elle est la premiĂšre personne que nous demandons. La probabilitĂ© de naĂźtre n’importe quel jour de l’annĂ©e est de 1 ou plus prĂ©cisĂ©ment: 365/365.

Puisque la personne B doit ĂȘtre nĂ©e le mĂȘme jour que la personne A, leur probabilitĂ© est de 1/365.

Nous voulons que ces deux événements se produisent ainsi multipliez les probabilités:

ProbabilitĂ© que 2 personnes choisies au hasard partagent la mĂȘme date de naissance .

Vous avez donc 0,27% de chance de marcher vers un inconnu et de dĂ©couvrir que son anniversaire est le mĂȘme jour que le vĂŽtre. C’est assez mince.

Mais qu’en est-il d’un groupe plus grand?

Quelle est la chance qu’au moins 2 personnes sur 4 partagent le mĂȘme anniversaire?

Bien pour Pour résoudre ce problÚme, nous devrons calculer tous les éléments suivants:

  • ProbabilitĂ© A et B partagent le mĂȘme anniversaire
  • ProbabilitĂ© A et C partagent le mĂȘme anniversaire
  • ProbabilitĂ© A et D partagent le mĂȘme anniversaire
  • ProbabilitĂ© B et C partagent le mĂȘme anniversaire
  • ProbabilitĂ© B et D partagent le mĂȘme anniversaire
  • ProbabilitĂ© C et D partagent le mĂȘme anniversaire
  • ProbabilitĂ© A, B et C partagent le mĂȘme anniversaire
  • ProbabilitĂ© B, C et D partagent le mĂȘme anniversaire
  • ProbabilitĂ© A , C et D partagent le mĂȘme anniversaire
  • ProbabilitĂ© A, B et D partagent le mĂȘme anniversaire
  • ProbabilitĂ© A, B, C et D partagent tous le mĂȘme anniversaire

Beurk, ça fait beaucoup de calculs! Imaginez combien de probabilités nous aurions à calculer pour une classe de 30 élÚves!

Il doit y avoir une meilleure façon


Une meilleure façon: l’astuce du complĂ©ment

Le moyen le plus simple de calculer un bajillion de probabilités est de regarder le problÚme sous un angle différent:

Quelle est la probabilitĂ© que personne ne partage le mĂȘme anniversaire?

Cet exercice alternatif est utile car il est tout le contraire de notre problĂšme d’origine (c’est-Ă -dire le complĂ©ment). En probabilitĂ©, nous savons que le total de tous les rĂ©sultats possibles (c’est-Ă -dire l’espace d’échantillon) est toujours Ă©gal Ă  1, soit 100% de chance.

Puisque la probabilitĂ© qu’au moins 2 personnes aient le mĂȘme anniversaire et la probabilitĂ© que personne n’ait le mĂȘme anniversaire couvre tous les scĂ©narios possibles, nous savons que la somme de leurs probabilitĂ©s est 1.

Ou de maniĂšre Ă©quivalente:

Utiliser le complément pour résoudre notre problÚme

Yay! Ce sera beaucoup plus facile Ă  calculer.

Le calcul

GĂ©nial! Nous sommes enfin prĂȘts Ă  dĂ©couvrir dans quelle mesure le pari du professeur est sĂ»r.

Calculons la probabilitĂ© que personne ne partage le mĂȘme anniversaire dans une salle de 30 personnes.

Prenons cette Ă©tape par Ă©tape:

  • Le premier Ă©lĂšve peut naĂźtre n’importe quel jour, nous lui donnerons donc une probabilitĂ© de 365/365.
  • Le prochain Ă©lĂšve est dĂ©sormais limitĂ© Ă  364 jours possibles, donc la probabilitĂ© du deuxiĂšme Ă©lĂšve est de 364/365.
  • Le troisiĂšme Ă©lĂšve peut ĂȘtre nĂ© l’un des 363 jours restants, donc 363/365.

Ce schĂ©ma continue de sorte que notre dernier Ă©lĂšve a une probabilitĂ© de 336 / 365 (365 – 29 jours depuis que les Ă©lĂšves avant elle ont Ă©puisĂ© 29 jours potentiels).

Multipliez à nouveau les 30 probabilités ensemble:

probabilités 361/365 à 338/365 non affichées

Attendez! C’est un peu compliquĂ©. Nettoyons ça.

Puisque le dénominateur est trente 365 multiplié ensemble, nous pourrions le réécrire comme:

Utilisons les factorielles (symboliquement:!) pour nettoyer davantage ce calcul.

(Souvenez-vous que les factorielles sont pratiques pour multiplier ensemble des entiers positifs dĂ©croissants. Par exemple 5! Ă©gale 5 ‱ 4 ‱ 3 ‱ 2 ‱ 1 = 120.)

En utilisant des factorielles, 365! serait égal au produit de tous les nombres entiers décroissants de 365 à 1. Nous voulons seulement le produit des nombres entiers de 365 à 336, nous allons donc diviser les nombres superflus en divisant 365! par 335 !.

Remarque: si cela vous confond, essayez une valeur plus petite comme 5! / 3! = 5 ‱ 4 ‱ 3 ‱ 2 ‱ 1/3 ‱ 2 ‱ 1. Remarquez comment les 3 ‱ 2 ‱ 1 sont Ă  la fois au numĂ©rateur et au dĂ©nominateur. Ils «annulent» en faisant 5! / 3! = 5 ‱ 4.

En mettant tout cela ensemble, nous avons maintenant une expression qui peut ĂȘtre facilement saisie sur une calculatrice scientifique:

la forme simplifiée du produit des 30 probabilités ci-dessus

Cela donne 0,294 ou 29,4% de chance que personne dans la classe n’ait le mĂȘme anniversaire. Bien sĂ»r, nous voulons le complĂ©ment, donc nous le soustrayons de 1 pour trouver la probabilitĂ© qu’au moins 2 personnes dans un groupe de 30 partagent le mĂȘme jour de naissance.

La probabilitĂ© qu’au moins 2 personnes sur 30 partagent le mĂȘme anniversaire

Il s’avĂšre que c’était une valeur sĂ»re pour notre professeur! Il avait prĂšs de 71% de chances que deux d’entre nous ou plus partagent un anniversaire.

Une cinquante-cinquante chance

Beaucoup de gens sont surpris de constater que si vous rĂ©pĂ©tez ce calcul avec pour un groupe de 23 personnes, vous aurez toujours 50% de chances qu’au moins deux personnes soient nĂ©es le mĂȘme jour.

C’est un groupe de personnes relativement petit compte tenu du fait qu’il y a 365 anniversaires possibles! Cela signifie que dans tout groupe de plus de 23 personnes, il est probable qu’au moins 2 personnes partagent le mĂȘme jour de naissance.

Quel petit factoĂŻde fou!

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