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La premiĂšre fois que jâai entendu ce problĂšme, je suivais un cours de statistiques mathĂ©matiques de niveau 300 dans une petite universitĂ© du nord-ouest du Pacifique. CâĂ©tait une classe dâenviron 30 Ă©tudiants et le professeur a pariĂ© quâau moins deux dâentre nous partageaient le mĂȘme anniversaire.
Il a ensuite demandĂ© Ă tout le monde de dĂ©clarer son anniversaire. Ă mon tour, jâai indiquĂ© ma date de naissance comme «deux cubes, trois cubes», ce qui a fait rire la classe alors que notre professeur cĂ©rĂ©bral a mis du temps Ă dĂ©chiffrer la date.
Quoi quâil en soit, comme il lâavait prĂ©dit avant dâarriver Ă le dernier Ă©lĂšve avait trouvĂ© une paire dâanniversaires correspondants.
Quelle chance a-t-il eu dâavoir trouvĂ© une paire correspondante?
Ăchauffement
HypothÚse: par souci de simplicité, nous ignorerons la possibilité de naßtre le 29 février.
Commençons par un exemple simple pour réchauffer notre cerveau:
Quelle est la probabilitĂ© que deux personnes partagent le mĂȘme anniversaire?
La personne A peut naĂźtre nâimporte quel jour de lâannĂ©e car elle est la premiĂšre personne que nous demandons. La probabilitĂ© de naĂźtre nâimporte quel jour de lâannĂ©e est de 1 ou plus prĂ©cisĂ©ment: 365/365.
Puisque la personne B doit ĂȘtre nĂ©e le mĂȘme jour que la personne A, leur probabilitĂ© est de 1/365.
Nous voulons que ces deux événements se produisent ainsi multipliez les probabilités:
Vous avez donc 0,27% de chance de marcher vers un inconnu et de dĂ©couvrir que son anniversaire est le mĂȘme jour que le vĂŽtre. Câest assez mince.
Mais quâen est-il dâun groupe plus grand?
Quelle est la chance quâau moins 2 personnes sur 4 partagent le mĂȘme anniversaire?
Bien pour Pour résoudre ce problÚme, nous devrons calculer tous les éléments suivants:
- ProbabilitĂ© A et B partagent le mĂȘme anniversaire
- ProbabilitĂ© A et C partagent le mĂȘme anniversaire
- ProbabilitĂ© A et D partagent le mĂȘme anniversaire
- ProbabilitĂ© B et C partagent le mĂȘme anniversaire
- ProbabilitĂ© B et D partagent le mĂȘme anniversaire
- ProbabilitĂ© C et D partagent le mĂȘme anniversaire
- ProbabilitĂ© A, B et C partagent le mĂȘme anniversaire
- ProbabilitĂ© B, C et D partagent le mĂȘme anniversaire
- ProbabilitĂ© A , C et D partagent le mĂȘme anniversaire
- ProbabilitĂ© A, B et D partagent le mĂȘme anniversaire
- ProbabilitĂ© A, B, C et D partagent tous le mĂȘme anniversaire
Beurk, ça fait beaucoup de calculs! Imaginez combien de probabilités nous aurions à calculer pour une classe de 30 élÚves!
Il doit y avoir une meilleure façonâŠ
Une meilleure façon: lâastuce du complĂ©ment
Le moyen le plus simple de calculer un bajillion de probabilités est de regarder le problÚme sous un angle différent:
Quelle est la probabilitĂ© que personne ne partage le mĂȘme anniversaire?
Cet exercice alternatif est utile car il est tout le contraire de notre problĂšme dâorigine (câest-Ă -dire le complĂ©ment). En probabilitĂ©, nous savons que le total de tous les rĂ©sultats possibles (câest-Ă -dire lâespace dâĂ©chantillon) est toujours Ă©gal Ă 1, soit 100% de chance.
Puisque la probabilitĂ© quâau moins 2 personnes aient le mĂȘme anniversaire et la probabilitĂ© que personne nâait le mĂȘme anniversaire couvre tous les scĂ©narios possibles, nous savons que la somme de leurs probabilitĂ©s est 1.
Ou de maniĂšre Ă©quivalente:
Yay! Ce sera beaucoup plus facile Ă calculer.
Le calcul
GĂ©nial! Nous sommes enfin prĂȘts Ă dĂ©couvrir dans quelle mesure le pari du professeur est sĂ»r.
Calculons la probabilitĂ© que personne ne partage le mĂȘme anniversaire dans une salle de 30 personnes.
Prenons cette Ă©tape par Ă©tape:
- Le premier Ă©lĂšve peut naĂźtre nâimporte quel jour, nous lui donnerons donc une probabilitĂ© de 365/365.
- Le prochain élÚve est désormais limité à 364 jours possibles, donc la probabilité du deuxiÚme élÚve est de 364/365.
- Le troisiĂšme Ă©lĂšve peut ĂȘtre nĂ© lâun des 363 jours restants, donc 363/365.
Ce schĂ©ma continue de sorte que notre dernier Ă©lĂšve a une probabilitĂ© de 336 / 365 (365 â 29 jours depuis que les Ă©lĂšves avant elle ont Ă©puisĂ© 29 jours potentiels).
Multipliez à nouveau les 30 probabilités ensemble:
Attendez! Câest un peu compliquĂ©. Nettoyons ça.
Puisque le dénominateur est trente 365 multiplié ensemble, nous pourrions le réécrire comme:
Utilisons les factorielles (symboliquement:!) pour nettoyer davantage ce calcul.
(Souvenez-vous que les factorielles sont pratiques pour multiplier ensemble des entiers positifs décroissants. Par exemple 5! égale 5 ⹠4 ⹠3 ⹠2 ⹠1 = 120.)
En utilisant des factorielles, 365! serait égal au produit de tous les nombres entiers décroissants de 365 à 1. Nous voulons seulement le produit des nombres entiers de 365 à 336, nous allons donc diviser les nombres superflus en divisant 365! par 335 !.
Remarque: si cela vous confond, essayez une valeur plus petite comme 5! / 3! = 5 ⹠4 ⹠3 ⹠2 ⹠1/3 ⹠2 ⹠1. Remarquez comment les 3 ⹠2 ⹠1 sont à la fois au numérateur et au dénominateur. Ils «annulent» en faisant 5! / 3! = 5 ⹠4.
En mettant tout cela ensemble, nous avons maintenant une expression qui peut ĂȘtre facilement saisie sur une calculatrice scientifique:
Cela donne 0,294 ou 29,4% de chance que personne dans la classe nâait le mĂȘme anniversaire. Bien sĂ»r, nous voulons le complĂ©ment, donc nous le soustrayons de 1 pour trouver la probabilitĂ© quâau moins 2 personnes dans un groupe de 30 partagent le mĂȘme jour de naissance.
Il sâavĂšre que câĂ©tait une valeur sĂ»re pour notre professeur! Il avait prĂšs de 71% de chances que deux dâentre nous ou plus partagent un anniversaire.
Une cinquante-cinquante chance
Beaucoup de gens sont surpris de constater que si vous rĂ©pĂ©tez ce calcul avec pour un groupe de 23 personnes, vous aurez toujours 50% de chances quâau moins deux personnes soient nĂ©es le mĂȘme jour.
Câest un groupe de personnes relativement petit compte tenu du fait quâil y a 365 anniversaires possibles! Cela signifie que dans tout groupe de plus de 23 personnes, il est probable quâau moins 2 personnes partagent le mĂȘme jour de naissance.
Quel petit factoĂŻde fou!
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