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La première fois que j’ai entendu ce problème, je suivais un cours de statistiques mathématiques de niveau 300 dans une petite université du nord-ouest du Pacifique. C’était une classe d’environ 30 étudiants et le professeur a parié qu’au moins deux d’entre nous partageaient le même anniversaire.
Il a ensuite demandé à tout le monde de déclarer son anniversaire. À mon tour, j’ai indiqué ma date de naissance comme «deux cubes, trois cubes», ce qui a fait rire la classe alors que notre professeur cérébral a mis du temps à déchiffrer la date.
Quoi qu’il en soit, comme il l’avait prédit avant d’arriver à le dernier élève avait trouvé une paire d’anniversaires correspondants.
Quelle chance a-t-il eu d’avoir trouvé une paire correspondante?
Échauffement
Hypothèse: par souci de simplicité, nous ignorerons la possibilité de naître le 29 février.
Commençons par un exemple simple pour réchauffer notre cerveau:
Quelle est la probabilité que deux personnes partagent le même anniversaire?
La personne A peut naître n’importe quel jour de l’année car elle est la première personne que nous demandons. La probabilité de naître n’importe quel jour de l’année est de 1 ou plus précisément: 365/365.
Puisque la personne B doit être née le même jour que la personne A, leur probabilité est de 1/365.
Nous voulons que ces deux événements se produisent ainsi multipliez les probabilités:
Vous avez donc 0,27% de chance de marcher vers un inconnu et de découvrir que son anniversaire est le même jour que le vôtre. C’est assez mince.
Mais qu’en est-il d’un groupe plus grand?
Quelle est la chance qu’au moins 2 personnes sur 4 partagent le même anniversaire?
Bien pour Pour résoudre ce problème, nous devrons calculer tous les éléments suivants:
- Probabilité A et B partagent le même anniversaire
- Probabilité A et C partagent le même anniversaire
- Probabilité A et D partagent le même anniversaire
- Probabilité B et C partagent le même anniversaire
- Probabilité B et D partagent le même anniversaire
- Probabilité C et D partagent le même anniversaire
- Probabilité A, B et C partagent le même anniversaire
- Probabilité B, C et D partagent le même anniversaire
- Probabilité A , C et D partagent le même anniversaire
- Probabilité A, B et D partagent le même anniversaire
- Probabilité A, B, C et D partagent tous le même anniversaire
Beurk, ça fait beaucoup de calculs! Imaginez combien de probabilités nous aurions à calculer pour une classe de 30 élèves!
Il doit y avoir une meilleure façon…
Une meilleure façon: l’astuce du complément
Le moyen le plus simple de calculer un bajillion de probabilités est de regarder le problème sous un angle différent:
Quelle est la probabilité que personne ne partage le même anniversaire?
Cet exercice alternatif est utile car il est tout le contraire de notre problème d’origine (c’est-à-dire le complément). En probabilité, nous savons que le total de tous les résultats possibles (c’est-à-dire l’espace d’échantillon) est toujours égal à 1, soit 100% de chance.
Puisque la probabilité qu’au moins 2 personnes aient le même anniversaire et la probabilité que personne n’ait le même anniversaire couvre tous les scénarios possibles, nous savons que la somme de leurs probabilités est 1.
Ou de manière équivalente:
Yay! Ce sera beaucoup plus facile à calculer.
Le calcul
Génial! Nous sommes enfin prêts à découvrir dans quelle mesure le pari du professeur est sûr.
Calculons la probabilité que personne ne partage le même anniversaire dans une salle de 30 personnes.
Prenons cette étape par étape:
- Le premier élève peut naître n’importe quel jour, nous lui donnerons donc une probabilité de 365/365.
- Le prochain élève est désormais limité à 364 jours possibles, donc la probabilité du deuxième élève est de 364/365.
- Le troisième élève peut être né l’un des 363 jours restants, donc 363/365.
Ce schéma continue de sorte que notre dernier élève a une probabilité de 336 / 365 (365 – 29 jours depuis que les élèves avant elle ont épuisé 29 jours potentiels).
Multipliez à nouveau les 30 probabilités ensemble:
Attendez! C’est un peu compliqué. Nettoyons ça.
Puisque le dénominateur est trente 365 multiplié ensemble, nous pourrions le réécrire comme:
Utilisons les factorielles (symboliquement:!) pour nettoyer davantage ce calcul.
(Souvenez-vous que les factorielles sont pratiques pour multiplier ensemble des entiers positifs décroissants. Par exemple 5! égale 5 • 4 • 3 • 2 • 1 = 120.)
En utilisant des factorielles, 365! serait égal au produit de tous les nombres entiers décroissants de 365 à 1. Nous voulons seulement le produit des nombres entiers de 365 à 336, nous allons donc diviser les nombres superflus en divisant 365! par 335 !.
Remarque: si cela vous confond, essayez une valeur plus petite comme 5! / 3! = 5 • 4 • 3 • 2 • 1/3 • 2 • 1. Remarquez comment les 3 • 2 • 1 sont à la fois au numérateur et au dénominateur. Ils «annulent» en faisant 5! / 3! = 5 • 4.
En mettant tout cela ensemble, nous avons maintenant une expression qui peut être facilement saisie sur une calculatrice scientifique:
Cela donne 0,294 ou 29,4% de chance que personne dans la classe n’ait le même anniversaire. Bien sûr, nous voulons le complément, donc nous le soustrayons de 1 pour trouver la probabilité qu’au moins 2 personnes dans un groupe de 30 partagent le même jour de naissance.
Il s’avère que c’était une valeur sûre pour notre professeur! Il avait près de 71% de chances que deux d’entre nous ou plus partagent un anniversaire.
Une cinquante-cinquante chance
Beaucoup de gens sont surpris de constater que si vous répétez ce calcul avec pour un groupe de 23 personnes, vous aurez toujours 50% de chances qu’au moins deux personnes soient nées le même jour.
C’est un groupe de personnes relativement petit compte tenu du fait qu’il y a 365 anniversaires possibles! Cela signifie que dans tout groupe de plus de 23 personnes, il est probable qu’au moins 2 personnes partagent le même jour de naissance.
Quel petit factoïde fou!
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