Dans toutes ces approches, la même procédure de base est suivie.

• Pendant le prétraitement
  • La géométrie et les limites physiques du le problème peut être défini à l’aide de la conception assistée par ordinateur (CAO). À partir de là, les données peuvent être traitées (nettoyées) de manière appropriée et le volume de fluide (ou domaine de fluide) est extrait.
  • Le volume occupé par le fluide est divisé en cellules discrètes (le maillage). Le maillage peut être uniforme ou non uniforme, structuré ou non structuré, constitué d’une combinaison d’éléments hexaédriques, tétraédriques, prismatiques, pyramidaux ou polyédriques.
  • La modélisation physique est définie – par exemple, les équations du fluide mouvement + enthalpie + rayonnement + conservation des espèces
  • Les conditions aux limites sont définies. Cela implique de spécifier le comportement et les propriétés du fluide sur toutes les surfaces de délimitation du domaine fluide. Pour les problèmes transitoires, les conditions initiales sont également définies.
• La simulation est lancée et les équations sont résolues de manière itérative en régime permanent ou transitoire.
• Enfin un post-processeur est utilisé pour l’analyse et la visualisation de la solution résultante.

Méthodes de discrétisation Modifier

La stabilité de la discrétisation choisie est généralement établie numériquement plutôt qu’analytiquement comme avec des problèmes linéaires simples. Une attention particulière doit également être apportée pour que la discrétisation gère les solutions discontinues avec élégance. Les équations d’Euler et les équations de Navier – Stokes admettent les chocs et les surfaces de contact.

Certaines des méthodes de discrétisation utilisées sont:

Méthode des volumes finis Modifier

La méthode des volumes finis (FVM) est une approche courante utilisée dans les codes CFD, car elle présente un avantage en termes d’utilisation de la mémoire et de vitesse de résolution, en particulier pour les gros problèmes, les flux turbulents à nombre de Reynolds élevé , et les flux dominés par le terme source (comme la combustion).

Dans la méthode des volumes finis, les équations aux dérivées partielles qui régissent (généralement les équations de Navier-Stokes, les équations de conservation de la masse et de l’énergie et les équations de refondu sous une forme conservatrice, puis résolu sur des volumes de contrôle discrets. Cette discrétisation garantit la conservation des flux à travers un volume de contrôle particulier. L’équation des volumes finis donne des équations gouvernantes sous la forme,

∂ ∂ t ∭ Q d V + ∬ F d A = 0, {\ displaystyle {\ frac {\ partial} {\ partial t}} \ iiint Q \ , dV + \ iint F \, d \ mathbf {A} = 0,}

où Q {\ displaystyle Q} est le vecteur des variables conservées, F {\ displaystyle F} est le vecteur des flux (voir équations d’Euler ou Équations de Navier – Stokes), V {\ displaystyle V} est le volume de l’élément de volume de contrôle, et A {\ displaystyle \ mathbf {A}} est la surface de l’élément de volume de contrôle.

Fini element methodEdit

La méthode des éléments finis (FEM) est utilisée dans l’analyse structurale des solides, mais est également applicable aux fluides. Cependant, la formulation FEM nécessite un soin particulier pour garantir une solution conservatrice. La formulation FEM a été adaptée pour être utilisée avec les équations régissant la dynamique des fluides. Bien que la FEM doit être soigneusement formulée pour être conservatrice, elle est beaucoup plus stable que l’approche des volumes finis. Cependant, FEM peut nécessiter plus de mémoire et a des temps de résolution plus lents que le FVM.

Dans cette méthode, une équation résiduelle pondérée est formée:

R i = ∭ W i Q d V e {\ Displaystyle R_ {i} = \ iiint W_ {i} Q \, dV ^ {e}}

Méthode des différences finies Modifier

La différence finie (FDM) a une importance historique et est simple à programmer. Il n’est actuellement utilisé que dans quelques codes spécialisés, qui gèrent une géométrie complexe avec une précision et une efficacité élevées en utilisant des frontières intégrées ou des grilles qui se chevauchent (avec la solution interpolée sur chaque grille).

∂ Q ∂ t + ∂ F ∂ x + ∂ G ∂ y + ∂ H ∂ z = 0 {\ displaystyle {\ frac {\ partial Q} {\ partial t}} + {\ frac {\ partial F} {\ partial x}} + {\ frac {\ partial G} {\ partial y}} + {\ frac {\ partial H} {\ partial z}} = 0}

Méthode d’élément spectral Modifier

La méthode des éléments spectraux est une méthode de type éléments finis. Cela nécessite que le problème mathématique (l’équation aux dérivées partielles) soit moulé dans une formulation faible. Cela se fait généralement en multipliant l’équation différentielle par une fonction de test arbitraire et en intégrant sur l’ensemble du domaine. D’un point de vue purement mathématique, les fonctions de test sont complètement arbitraires – elles appartiennent à un espace de fonctions de dimension infinie. Il est clair qu’un espace de fonctions de dimension infinie ne peut pas être représenté sur un maillage d’éléments spectraux discrets; c’est là que commence la discrétisation des éléments spectraux. Le plus important est le choix des fonctions d’interpolation et de test.Dans un FEM standard, d’ordre inférieur en 2D, pour les éléments quadrilatéraux, le choix le plus typique est le test bilinéaire ou la fonction d’interpolation de la forme v (x, y) = ax + by + cxy + d {\ displaystyle v (x, y) = ax + par + cxy + d}. Dans une méthode d’élément spectral cependant, les fonctions d’interpolation et de test sont choisies pour être des polynômes d’un ordre très élevé (typiquement par exemple du 10ème ordre dans les applications CFD). Cela garantit la convergence rapide de la méthode. De plus, des procédures d’intégration très efficaces doivent être utilisées, car le nombre d’intégrations à effectuer dans les codes numériques est important. Ainsi, des quadratures d’intégration de Gauss d’ordre élevé sont utilisées, car elles atteignent la plus grande précision avec le plus petit nombre de calculs à effectuer.À l’heure actuelle, il existe des codes CFD académiques basés sur la méthode des éléments spectraux et d’autres sont actuellement en développement, puisque les nouveaux schémas de pas de temps apparaissent dans le monde scientifique.

Méthode Boltzmann LatticeModifier

La méthode Boltzmann Lattice (LBM) avec son image cinétique simplifiée sur un réseau fournit une description efficace du point de vue calcul de l’hydrodynamique Contrairement aux méthodes CFD traditionnelles, qui résolvent numériquement les équations de conservation des propriétés macroscopiques (c’est-à-dire la masse, la quantité de mouvement et l’énergie), la LBM modélise le fluide constitué de particules fictives , et ces particules effectuent des processus de propagation et de collision consécutifs sur un maillage de réseau discret. Dans cette méthode, on travaille avec la version discrète dans l’espace et le temps de l’équation d’évolution cinétique sous la forme Boltzmann Bhatnagar-Gross-Krook (BGK).

Méthode des éléments de frontière Modifier

Dans la méthode des éléments de frontière, la frontière occupée par le fluide est divisée en un maillage de surface.

Schémas de discrétisation haute résolutionModifier

Les schémas haute résolution sont utilisés là où des chocs ou des discontinuités sont présents. La capture de changements brusques dans la solution nécessite l’utilisation de schémas numériques de second ordre ou d’ordre supérieur qui n’introduisent pas d’oscillations parasites. Cela nécessite généralement l’application de limiteurs de flux pour s’assurer que la solution diminue la variation totale.

Modèles de turbulence Modifier

Dans la modélisation informatique des écoulements turbulents, un objectif commun est d’obtenir un modèle qui peut prédire des quantités d’intérêt, telles que la vitesse du fluide, à utiliser dans les conceptions techniques du système modélisé. Pour les écoulements turbulents, la gamme des échelles de longueur et la complexité des phénomènes impliqués dans la turbulence rendent la plupart des approches de modélisation d’un coût prohibitif; la résolution requise pour résoudre toutes les échelles impliquées dans la turbulence est au-delà de ce qui est possible sur le plan informatique. L’approche principale dans de tels cas est de créer des modèles numériques pour approcher les phénomènes non résolus. Cette section répertorie certains modèles de calcul couramment utilisés pour les écoulements turbulents.

Les modèles de turbulence peuvent être classés en fonction des dépenses de calcul, qui correspondent à la plage d’échelles modélisées par rapport à celles résolues (les échelles les plus turbulentes résolues, plus la résolution de la simulation est fine, et donc plus le coût de calcul est élevé). Si la majorité ou la totalité des échelles turbulentes ne sont pas modélisées, le coût de calcul est très faible, mais le compromis se présente sous la forme d’une précision réduite.

En plus de la large gamme d’échelles de longueur et de temps et le coût de calcul associé, les équations gouvernantes de la dynamique des fluides contiennent un terme de convection non linéaire et un terme de gradient de pression non linéaire et non local. Ces équations non linéaires doivent être résolues numériquement avec les conditions aux limites et initiales appropriées.

Navier – StokesEdit à moyenne de Reynolds

Les équations de Navier – Stokes (RANS) moyennées par Reynolds sont l’approche la plus ancienne de la modélisation de la turbulence. Une version d’ensemble des équations gouvernantes est résolue, ce qui introduit de nouvelles contraintes apparentes connues sous le nom de contraintes de Reynolds. Cela ajoute un tenseur d’inconnues du second ordre pour lequel divers modèles peuvent fournir différents niveaux de fermeture. C’est une idée fausse courante que les équations RANS ne s’appliquent pas aux flux avec un flux moyen variant dans le temps parce que ces équations sont « moyennées dans le temps ». En fait, les flux statistiquement instables (ou non stationnaires) peuvent également être traités. Ceci est parfois appelé URANS. Il n’y a rien d’inhérent à la moyenne de Reynolds pour empêcher cela, mais les modèles de turbulence utilisés pour fermer les équations ne sont valides que tant que le temps pendant lequel ces changements de la moyenne se produisent est grand par rapport aux échelles de temps du mouvement turbulent contenant la plupart des l’énergie.

Les modèles RANS peuvent être divisés en deux grandes approches:

Hypothèse de Boussinesq Cette méthode consiste à utiliser une équation algébrique pour les contraintes de Reynolds qui comprend la détermination de la viscosité turbulente, et en fonction du niveau de sophistication du modèle, résolution d’équations de transport pour déterminer l’énergie cinétique turbulente et la dissipation. Les modèles incluent k-ε (Launder et Spalding), Mixing Length Model (Prandtl) et Zero Equation Model (Cebeci et Smith). Les modèles disponibles dans cette approche sont souvent désignés par le nombre d’équations de transport associées à la méthode. Par exemple, le modèle Mixing Length est un modèle «Equation zéro» car aucune équation de transport n’est résolue; le k – ϵ {\ displaystyle k- \ epsilon} est un modèle à « deux équations » car deux équations de transport (une pour k {\ displaystyle k} et une pour ϵ {\ displaystyle \ epsilon}) sont résolues. Modèle de contrainte de Reynolds (RSM) Cette approche tente de résoudre réellement les équations de transport pour les contraintes de Reynolds. Cela signifie l’introduction de plusieurs équations de transport pour toutes les contraintes de Reynolds et donc cette approche est beaucoup plus coûteuse en effort CPU.

Simulation de grands tourbillonsEdit

La simulation des grands tourbillons (LES) est une technique dans laquelle les plus petites échelles du flux sont éliminées par une opération de filtrage , et leur effet modélisé à l’aide de modèles à l’échelle de sous-grille. Cela permet de résoudre les échelles les plus grandes et les plus importantes de la turbulence, tout en réduisant considérablement le coût de calcul encouru par les plus petites échelles. Cette méthode nécessite plus de ressources de calcul que les méthodes RANS, mais est beaucoup moins chère que le DNS.

Simulation de tourbillons détachéeModifier

Simulations de tourbillons détachées (DES) est une modification d’un modèle RANS dans lequel le modèle passe à une formulation d’échelle de sous-grille dans des régions suffisamment fines pour les calculs LES. Les régions proches des limites solides et où l’échelle de longueur turbulente est inférieure à la dimension maximale de la grille se voient attribuer le mode de solution RANS. Lorsque l’échelle de longueur turbulente dépasse la dimension de la grille, les régions sont résolues en utilisant le mode LES. Par conséquent, la résolution de la grille pour DES n’est pas aussi exigeante que le LES pur, ce qui réduit considérablement le coût du calcul. Bien que le DES ait été initialement formulé pour le modèle Spalart-Allmaras (Spalart et al., 1997), il peut être implémenté avec d’autres modèles RANS (Strelets, 2001), en modifiant de manière appropriée l’échelle de longueur qui est explicitement ou implicitement impliquée dans le modèle RANS . Ainsi, alors que le DES basé sur le modèle de Spalart – Allmaras agit comme LES avec un modèle de mur, le DES basé sur d’autres modèles (comme deux modèles d’équation) se comporte comme un modèle hybride RANS-LES. La génération du réseau est plus compliquée que pour un simple cas RANS ou LES en raison du commutateur RANS-LES. DES est une approche non zonale et fournit un seul champ de vitesse lisse à travers les régions RANS et LES des solutions.

Simulation numérique directeModifier

La simulation numérique directe (DNS) résout toute la gamme des échelles de longueur turbulentes. Cela marginalise l’effet des modèles, mais est extrêmement coûteux. Le coût de calcul est proportionnel à R e 3 {\ displaystyle Re ^ {3}}. Le DNS est intraitable pour les écoulements avec des géométries complexes ou des configurations d’écoulement.

Simulation de vortex cohérenteModifier

L’approche de simulation de vortex cohérente décompose le champ d’écoulement turbulent en une partie cohérente, constituée d’un mouvement vortex organisé, et la partie incohérente, qui est le flux d’arrière-plan aléatoire. Cette décomposition est effectuée à l’aide du filtrage par ondelettes. L’approche a beaucoup en commun avec LES, car elle utilise la décomposition et ne résout que la partie filtrée, mais différente en ce qu’elle n’utilise pas de filtre passe-bas linéaire. Au lieu de cela, l’opération de filtrage est basée sur des ondelettes et le filtre peut être adapté à mesure que le champ d’écoulement évolue. Farge et Schneider ont testé la méthode CVS avec deux configurations de flux et ont montré que la partie cohérente du flux présentait le spectre d’énergie – 40 39 {\ displaystyle – {\ frac {40} {39}}} présenté par le flux total, et correspondait à des structures cohérentes (tubes vortex), tandis que les parties incohérentes de l’écoulement composaient un bruit de fond homogène, qui ne présentait aucune structure organisée. Goldstein et Vasilyev ont appliqué le modèle FDV à la simulation de grands tourbillons, mais n’ont pas supposé que le filtre à ondelettes éliminait complètement tous les mouvements cohérents des échelles des sous-filtres. En employant à la fois le filtrage LES et CVS, ils ont montré que la dissipation SFS était dominée par la partie cohérente du champ de flux SFS.

Méthodes PDFModifier

Les méthodes de la fonction de densité de probabilité (PDF) pour la turbulence, introduites pour la première fois par Lundgren, sont basées sur le suivi du PDF à un point de la vitesse, f V (v; x , t) dv {\ displaystyle f_ {V} ({\ boldsymbol {v}}; {\ boldsymbol {x}}, t) d {\ boldsymbol {v}}}, qui donne la probabilité de la vitesse au point x {\ displaystyle {\ boldsymbol {x}}} étant entre v {\ displaystyle {\ boldsymbol {v}}} et v + dv {\ displaystyle {\ boldsymbol {v}} + d {\ boldsymbol {v}}}. Cette approche est analogue à la théorie cinétique des gaz, dans laquelle les propriétés macroscopiques d’un gaz sont décrites par un grand nombre de particules. Les méthodes PDF sont uniques en ce qu’elles peuvent être appliquées dans le cadre d’un certain nombre de modèles de turbulence différents; les principales différences se présentent sous la forme de l’équation de transport PDF. Par exemple, dans le contexte de la simulation de grands tourbillons, le PDF devient le PDF filtré. Les méthodes PDF peuvent également être utilisées pour décrire des réactions chimiques et sont particulièrement utiles pour simuler des flux à réaction chimique car le terme source chimique est fermé et ne nécessite pas de modèle. Le PDF est généralement suivi en utilisant des méthodes de particules lagrangiennes; lorsqu’elle est combinée avec la simulation de grands tourbillons, cela conduit à une équation de Langevin pour l’évolution des particules de sous-filtre.

Méthode VortexModifier

La méthode vortex est une technique sans grille pour la simulation d’écoulements turbulents. Il utilise les tourbillons comme éléments de calcul, imitant les structures physiques en turbulence. Les méthodes Vortex ont été développées comme une méthodologie sans grille qui ne serait pas limitée par les effets de lissage fondamentaux associés aux méthodes basées sur la grille. Pour être pratique, cependant, les méthodes de vortex nécessitent des moyens pour calculer rapidement les vitesses à partir des éléments du vortex – en d’autres termes, elles nécessitent la solution d’une forme particulière du problème à N corps (dans lequel le mouvement de N objets est lié à leurs influences mutuelles ). Une percée a eu lieu à la fin des années 1980 avec le développement de la méthode multipolaire rapide (FMM), un algorithme de V. Rokhlin (Yale) et L. Greengard (Courant Institute). Cette percée a ouvert la voie au calcul pratique des vitesses des éléments vortex et est la base d’algorithmes réussis.

Les logiciels basés sur la méthode vortex offrent un nouveau moyen de résoudre les problèmes de dynamique des fluides difficiles avec une intervention minimale de l’utilisateur . Tout ce qui est requis est la spécification de la géométrie du problème et l’établissement des conditions aux limites et initiales. Parmi les avantages significatifs de cette technologie moderne;

• Elle est pratiquement sans grille, éliminant ainsi de nombreuses itérations associées aux RANS et LES.
• Tous les problèmes sont traités de manière identique. Aucune entrée de modélisation ou d’étalonnage n’est requise.
• Les simulations de séries chronologiques, qui sont cruciales pour une analyse correcte de l’acoustique, sont possibles.
• Les petites et les grandes échelles sont simulées avec précision à la en même temps.

Méthode de confinement de tourbillon Modifier

La méthode de confinement de tourbillon (VC) est une technique eulérienne utilisée dans le simulation de sillages turbulents. Il utilise une approche de type onde solitaire pour produire une solution stable sans étalement numérique. VC peut capturer les entités à petite échelle avec aussi peu que 2 cellules de grille. Dans ces caractéristiques, une équation de différence non linéaire est résolue par opposition à l’équation de différence finie. VC est similaire aux méthodes de capture de chocs, où les lois de conservation sont satisfaites, de sorte que les quantités intégrales essentielles sont calculées avec précision.

Modèle de tourbillon linéaire Modifier

Le modèle de tourbillon linéaire est une technique utilisée pour simuler le mélange convectif qui a lieu dans un écoulement turbulent. Plus précisément, il fournit une manière mathématique de décrire les interactions d’une variable scalaire dans le champ de flux vectoriel. Il est principalement utilisé dans les représentations unidimensionnelles d’écoulement turbulent, car il peut être appliqué sur une large gamme d’échelles de longueur et de nombres de Reynolds. Ce modèle est généralement utilisé comme élément de base pour les représentations de flux plus complexes, car il fournit des prédictions à haute résolution qui s’appliquent à une large gamme de conditions de flux.

FlowEdit en deux phases

La modélisation de deux le flux de phase est toujours en cours de développement. Différentes méthodes ont été proposées, dont la méthode du volume de fluide, la méthode du level-set et le suivi de front. Ces méthodes impliquent souvent un compromis entre le maintien d’une interface nette ou la conservation de la masse. Ceci est crucial car l’évaluation de la densité, de la viscosité et de la tension superficielle est basée sur les valeurs moyennées sur l’interface. Les modèles multiphasiques lagrangiens, qui sont utilisés pour les milieux dispersés, sont basés sur la résolution de l’équation lagrangienne du mouvement pour la phase dispersée.

Solution algorithmsEdit

La discrétisation dans l’espace produit un système d’équations différentielles ordinaires pour les problèmes instables et d’équations algébriques pour les problèmes stables. Des méthodes implicites ou semi-implicites sont généralement utilisées pour intégrer les équations différentielles ordinaires, produisant un système d’équations algébriques (généralement) non linéaires. L’application d’une itération de Newton ou de Picard produit un système d’équations linéaires qui est non symétrique en présence d’advection et indéfini en présence d’incompressibilité. De tels systèmes, en particulier en 3D, sont souvent trop volumineux pour les solveurs directs, de sorte que des méthodes itératives sont utilisées, que ce soit des méthodes stationnaires telles que la sur-relaxation successive ou des méthodes de sous-espace de Krylov. Les méthodes de Krylov telles que GMRES, généralement utilisées avec le préconditionnement, fonctionnent en minimisant le résidu sur les sous-espaces successifs générés par l’opérateur préconditionné.

Multigrid a l’avantage de performances asymptotiquement optimales sur de nombreux problèmes. Les solveurs et préconditionneurs traditionnels sont efficaces pour réduire les composants haute fréquence du résidu, mais les composants basse fréquence nécessitent généralement de nombreuses itérations pour être réduits. En fonctionnant à plusieurs échelles, le multigrille réduit toutes les composantes du résidu par des facteurs similaires, conduisant à un nombre d’itérations indépendant du maillage.

Pour les systèmes indéfinis, les préconditionneurs tels que la factorisation LU incomplète, le Schwarz additif et le multigrille fonctionnent mal ou échouent entièrement, la structure du problème doit donc être utilisée pour un préconditionnement efficace. Les méthodes couramment utilisées dans CFD sont les algorithmes SIMPLE et Uzawa qui présentent des taux de convergence dépendant du maillage, mais les progrès récents basés sur la factorisation LU par blocs combinée avec le multigrille pour les systèmes définis résultants ont conduit à des préconditionneurs qui fournissent des taux de convergence indépendants du maillage. >

Aérodynamique instableEdit

CFD a fait une percée majeure à la fin des années 70 avec l’introduction de LTRAN2, un code 2D pour modéliser les profils oscillants basés sur la théorie transsonique des petites perturbations par Ballhaus et ses associés. Il utilise un algorithme de commutation Murman-Cole pour modéliser les ondes de choc en mouvement. Plus tard, il a été étendu à la 3D avec l’utilisation d’un schéma de différence en rotation par AFWAL / Boeing qui a abouti à LTRAN3.

Ingénierie biomédicaleEdit

Les investigations CFD sont utilisées pour clarifier les caractéristiques du flux aortique dans des détails qui sont au-delà des capacités des mesures expérimentales. Pour analyser ces conditions, des modèles CAO du système vasculaire humain sont extraits en utilisant des techniques d’imagerie modernes telles que l’IRM ou la tomographie par ordinateur. Un modèle 3D est reconstruit à partir de ces données et l’écoulement du fluide peut être calculé. Les propriétés du sang telles que la densité et la viscosité, et les conditions aux limites réalistes (par exemple la pression systémique) doivent être prises en considération. Par conséquent, permettant d’analyser et d’optimiser le flux dans le système cardiovasculaire pour différentes applications.

CPU versus GPUEdit

Traditionnellement, les simulations CFD sont effectuées sur des CPU. Dans une tendance plus récente, des simulations sont également effectuées sur des GPU. Ceux-ci contiennent généralement des processeurs plus lents mais plus nombreux. Pour les algorithmes CFD qui présentent de bonnes performances de parallélisme (c’est-à-dire une bonne accélération en ajoutant plus de cœurs), cela peut réduire considérablement les temps de simulation. Les méthodes de Boltzmann pour les particules implicites dans les fluides et le réseau sont des exemples typiques de codes qui s’adaptent bien aux GPU.