→ Lisää matematiikkaoppaita on YouTuben Math Hacks -sivustolla! ←

Ensimmäisen kerran, kun kuulin tämän ongelman, istuin 300-tason matematiikkatilastokurssilla pienessä yliopistossa luoteisessa Tyynenmeren alueella. Se oli noin 30 opiskelijan luokka, ja professori vetosi siitä, että ainakin kahdella meistä oli sama syntymäpäivä.

Sitten hän jatkoi kaikkien ilmoittavan syntymäpäivänsä. Kun tuli vuoroni, ilmoitin syntymäpäiväni olevan ”kaksi kuutioista, kolme kuutioitua”, mikä sai luokan nauramaan, kun aivoprofessorimme vietti jonkin aikaa päivämäärän salaamiseen.

Joka tapauksessa kuten hän ennusti ennen kuin hän pääsi viimeinen opiskelija oli löytänyt pari vastaavaa syntymäpäivää.

Kuinka onnekas oli, että hän löysi vastaavan parin?

Lämmittely

Oletus: yksinkertaisuuden vuoksi jätämme huomiotta mahdollisuuden syntyä 29. helmikuuta.

Aloitetaan yksinkertaisella esimerkillä aivojemme lämmittämiseksi:

Mikä on todennäköisyys, että kahdella ihmisellä on sama syntymäpäivä?

Henkilö A voi syntyä mihin tahansa vuoden päivään, koska hän on ensimmäinen henkilö, jolta kysymme. Todennäköisyys syntyä mihin tahansa päivään vuodessa on 1 tai tarkemmin: 365/365.

Koska henkilön B on syntynyt samana päivänä kuin henkilö A, heidän todennäköisyytensä on 1/365.

Haluamme, että molemmat näistä tapahtumista tapahtuvat niin kerro todennäköisyydet:

Joten sinulla on 0,27% mahdollisuus kävellä muukalaisen luokse ja huomata, että heidän syntymäpäivä on sama päivä kuin sinun. Se on melko ohut.

Mutta entä suurempi ryhmä?

Kuinka suuri on mahdollisuus, että vähintään kahdella neljästä ihmisestä on sama syntymäpäivä?

No Tämän ongelman ratkaisemiseksi meidän on laskettava kaikki seuraavat:

• Todennäköisyydellä A ja B on sama syntymäpäivä
• Todennäköisyydellä A ja C on sama syntymäpäivä
• Todennäköisyydellä A ja D on sama syntymäpäivä
• Todennäköisyydellä B ja C on sama syntymäpäivä
• Todennäköisyydellä B ja D on sama syntymäpäivä
• Todennäköisyys C: llä ja D: llä on sama syntymäpäivä
• Todennäköisyydellä A, B ja C on sama syntymäpäivä
• Todennäköisyydellä B, C ja D on sama syntymäpäivä
• Todennäköisyydellä A , C: llä ja D: llä on sama syntymäpäivä
• Todennäköisyydellä A, B ja D on sama syntymäpäivä
• Todennäköisyydellä A, B, C ja D on sama syntymäpäivä

Yuck, siinä on paljon laskelmia! Kuvittele, kuinka monta todennäköisyyttä meidän pitäisi laskea 30 opiskelijan luokkahuoneelle!

On oltava parempi tapa …

Parempi tapa: täydennyksen temppu

Yksinkertaisin tapa kiertää bajillion-todennäköisyyksien laskeminen on tarkastella ongelmaa eri näkökulmasta:

Mikä on todennäköisyys, että kukaan ei jaa samaa syntymäpäivää?

Tämä vaihtoehtoinen harjoitus on hyödyllinen, koska se on täysin päinvastainen kuin alkuperäinen ongelma (eli täydennysosa). Todennäköisesti tiedämme, että kaikkien mahdollisten tulosten (eli näytetilan) kokonaismäärä on aina yhtä tai 100 prosentin mahdollisuus.

Koska todennäköisyys, että vähintään kahdella ihmisellä on sama syntymäpäivä ja todennäköisyys, että kenelläkään ei ole samaa syntymäpäivää, kattaa kaikki mahdolliset skenaariot, tiedämme, että heidän todennäköisyyksiensä summa on 1.

Tai vastaavasti:

Jee! Se on paljon helpompi laskea.

Laskelma

Mahtava! Olemme vihdoin valmiita selvittämään, kuinka turvallisen vedon professori teki.

Selvitetään todennäköisyys, ettei kukaan jaa samaa syntymäpäivää 30 hengen huoneesta.

Otetaan tämä askel askeleelta:

• Ensimmäinen opiskelija voi syntyä milloin tahansa, joten annamme hänelle todennäköisyyden 365/365.
• Seuraava opiskelija on nyt rajoitettu 364 mahdolliseen päivään, joten toisen opiskelijan todennäköisyys on 364/365.
• Kolmas opiskelija voi syntyä jollakin jäljellä olevista 363 päivästä, siis 363/365.

Tämä malli jatkuu niin, että viimeisen opiskelijamme todennäköisyys on 336. / 365 (365 – 29 päivää siitä, kun opiskelijat ennen häntä käyttivät 29 potentiaalista päivää).

Kerro jälleen kaikki 30 todennäköisyyttä yhteen:

Odota! Se on vähän sotkuista. Siivotaan tämä.

Koska nimittäjä on kolmekymmentä 365: tä kerrottuna yhteen, voimme kirjoittaa sen uudelleen seuraavasti:

Käytetään laskelmia edelleen puhdistamalla tekijöillä (symbolisesti:!).

(Muista, että tekijät ovat käteviä kertomaan laskevat positiiviset kokonaisluvut. Esimerkiksi 5! on yhtä suuri kuin 5 • 4 • 3 • 2 • 1 = 120.)

Faktorialien käyttö, 365! olisi yhtä suuri kuin kaikkien laskevien kokonaislukujen tulo 365: stä 1: een. Haluamme vain kokonaislukujen 365: n ja 336: n tulon, joten jaamme ulkopuoliset luvut jakamalla 365! kirjoittanut 335 !.

Huomaa: jos tämä hämmentää, kokeile pienempää arvoa, kuten 5! / 3! = 5 • 4 • 3 • 2 • 1/3 • 2 • 1. Huomaa, kuinka 3 • 2 • 1 ovat sekä osoittajassa että nimittäjässä. He ’peruuttavat’ tekemällä 5! / 3! = 5 • 4.

Kun kootaan kaikki yhteen, meillä on nyt lauseke, joka voidaan helposti syöttää tieteelliseen laskimeen:

Tämä laskee 0,294 tai 29,4 prosentin todennäköisyyden, ettei kenelläkään luokassa ole sama syntymäpäivä. Tietysti haluamme täydennyksen, joten vähennämme sen yhdestä, jotta löydämme todennäköisyyden, että vähintään 2 ihmistä 30 hengen ryhmässä jakaa saman syntymäpäivän.

Osoittautui, että se oli melko turvallinen veto professorillemme! Hänellä oli lähes 71% mahdollisuus, että 2 tai useampi meistä jakaa syntymäpäivänsä.

Viisikymmentä-viisikymmentä mahdollisuutta

Monet ihmiset ovat yllättyneitä huomatessaan, että jos toistat tämän laskutoimituksen 23 hengen ryhmällä on edelleen 50% mahdollisuus, että vähintään kaksi ihmistä syntyi samana päivänä.

Se on suhteellisen pieni joukko ihmisiä, koska syntymäpäiviä on 365 mahdollista! Tämä tarkoittaa, että missä tahansa yli 23 hengen ryhmässä on todennäköistä, että vähintään 2 ihmistä jakaa saman syntymäpäivän.

Mikä hullu pieni faktoidi!

❤ PYSY YHTEYDESSÄ ❤

Pysy ajan tasalla kaikesta Math Hacksista!