motivoiva esimerkki harvinaisen sairauden oletuksen yhteydessäMuokkaa

Kuvittele, että on olemassa harvinainen sairaus, joka kärsii, esimerkiksi, vain yhdestä monista tuhansista aikuisista maa. Kuvittele, että epäilemme, että altistuminen jollekin (esimerkiksi jos sinulla on ollut erityinen vamma lapsuudessa) lisää todennäköisyyttä sairauden kehittymiseen aikuisiässä. Kaikkein informatiivisin asia laskettaessa olisi riskisuhde RR. Tätä varten ihanteellisessa tapauksessa meidän on tiedettävä kaikkien väestön aikuisten osalta, onko heillä (a) ollut altistuminen vahingolle lapsena ja (b) kehittikö sairaus aikuisina. Tästä otettaisiin seuraavat tiedot: lapsivammalle altistuneiden ihmisten kokonaismäärä, NE, {\ displaystyle N_ {E}, joista DE {\ displaystyle D_ {E}} kehitti taudin ja HE {\ displaystyle H_ {E}} pysyi terveenä; ja altistumattomien ihmisten kokonaismäärä, N N, {\ displaystyle N_ {N},} joista D N {\ displaystyle D_ {N}} kehitti taudin ja H N {\ displaystyle H_ {N}} pysyi terveenä. Koska NE = DE + HE {\ displaystyle N_ {E} = D_ {E} + H_ {E}} ja vastaavasti NN {\ displaystyle N_ {N}} -numeroille, meillä on vain neljä itsenäistä numeroa, jotka voimme järjestää taulukossa:

Sairas Terveellinen Altistunut DEHE Ei paljasta DNHN {\ displaystyle {\ begin {array} {| r | cc |} \ hline & {\ text {Disused }} & {\ text {Healthy}} \\\ hline {\ text {Exposed}} & {D_ {E}} & {H_ {E}} \\ {\ text {Ei näkyvissä}} & {D_ {N}} & {H_ {N}} \\\ hline \ end {array}}}

Mahdollisten sekaannusten välttämiseksi korostamme, että kaikki nämä numerot viittaavat koko populaatioon eivätkä johonkin näytteeseen siitä.

RR = DE / NEDN / NN, {\ displaystyle RR = {\ frac {D_ {E} / N_ {E}} {D_ {N} / N_ {N}}} \ ,,}

joka voidaan kirjoittaa uudelleen RR = DENNDNNE = DE / DNNE / NN. {\ displaystyle RR = {\ frac {D_ {E} N_ {N}} {D_ {N} N_ {E}}} = {\ frac {D_ {E} / D_ {N}} {N_ {E} / N_ {N}}}.}

TAI = DE / HEDN / HN, {\ displaystyle TAI = {\ frac {D_ {E} / H_ {E}} {D_ {N} / H_ {N}} } \ ,,} joka voidaan kirjoittaa uudestaan nimellä OR = DEHNDNHE = DE / DNHE / HN. {\ displaystyle OR = {\ frac {D_ {E} H_ {N}} {D_ {N} H_ {E}}} = {\ frac {D_ {E} / D_ {N}} {H_ {E} / H_ {N}}}.}

Voimme usein ratkaista tämän ongelman käyttämällä satunnaisotantaa populaatiosta: nimittäin, jos tauti tai altistuminen vahingolle eivät ole liian harvinaisia populaatiossamme, voimme valita (sanoa ) sata ihmistä satunnaisesti, ja selvitä nämä neljä numeroa otoksesta; olettaen, että otos on riittävän edustava populaatiosta, tälle otokselle laskettu RR on hyvä arvio koko populaation RR: lle.

Jotkut sairaudet voivat kuitenkin olla niin harvinaisia, että todennäköisesti , edes suuri satunnainen otos ei ehkä sisällä edes yhtä sairasta yksilöä (tai se voi sisältää joitain, mutta liian vähän ollakseen tilastollisesti merkittävä). Tämä tekisi mahdottomaksi laskea RR. Mutta voimme kuitenkin pystyä arvioimaan syrjäisimmät alueet edellyttäen, että toisin kuin tauti, altistuminen lapsuuden vammoille ei ole liian harvinaista. Tietysti, koska tauti on harvinaista, tämä on myös arviomme RR: lle.

Tarkasteltaessa OR: n lopullista lauseketta: murto-osa osoittajassa, DE / DN, {\ displaystyle D_ { E} / D_ {N},} voimme arvioida keräämällä kaikki tunnetut taudin tapaukset (oletettavasti niitä on oltava, muuten emme todennäköisesti tee tutkimusta aluksi) ja näemme kuinka moni sairailla ihmisillä oli altistuminen, ja kuinka monella ei. Ja nimittäjän, HE / HN, {\ displaystyle H_ {E} / H_ {N}, murto-osa on kerroin, että terve väestön yksilö altistui Huomaa nyt, että tämä jälkimmäinen kerroin voidaan todellakin arvioida satunnaisella otoksella väestöstä – edellyttäen, kuten sanoimme, että altistuminen lapsuuden vammaiselle ei ole liian pieni, joten satunnaisotos hallittavissa oleva koko sisältäisi todennäköisesti melkoisen määrän altistuneita henkilöitä, joten tässä tauti on hyvin harvinaista, mutta tekijä ajatteli siihen osallistuminen ei ole aivan niin harvinaista; tällaiset tilanteet ovat käytännössä melko yleisiä.

Siten voimme arvioida OR: n ja sitten vedoten jälleen harvinaista sairautta koskevaan olettamaan, sanomme, että tämä on myös hyvä likiarvio RR: stä. Edellä kuvattu skenaario on muuten paradigmaattinen esimerkki tapaustarkastustutkimuksesta.

Määritelmä ryhmäkohtaisesti oddsEdit

Kerroinsuhde on yhden kertoimen suhde. yhdessä ryhmässä esiintyvä tapahtuma sen todennäköisyydellä, joka tapahtuu toisessa ryhmässä. Termiä käytetään myös viittaamaan otosperusteisiin arvioihin tästä suhteesta. Nämä ryhmät voivat olla miehiä ja naisia, kokeellinen ryhmä ja kontrolliryhmä tai mikä tahansa muu dikotominen luokitus.Jos tapahtuman todennäköisyydet kussakin ryhmässä ovat p1 (ensimmäinen ryhmä) ja p2 (toinen ryhmä), kertoimien suhde on:

p 1 / (1 – p 1) p 2 / (1 – p 2) = p 1 / q 1 p 2 / q 2 = p 1 q 2 p 2 q 1, {\ displaystyle {p_ {1} / (1-p_ {1}) \ yli p_ {2} / (1- p_ {2})} = {p_ {1} / q_ {1} \ yli p_ {2} / q_ {2}} = {\ frac {\; p_ {1} q_ {2} \;} {\; p_ {2} q_ {1} \;}},}

missä qx = 1 – px. Kerroinsuhde 1 osoittaa, että tutkittava tila tai tapahtuma esiintyy yhtä todennäköisesti molemmissa ryhmissä. Kerroin, joka on suurempi kuin 1, osoittaa, että ehto tai tapahtuma esiintyy todennäköisemmin ensimmäisessä ryhmässä. Ja kerroinsuhde, joka on alle 1, osoittaa, että ehto tai tapahtuma on vähemmän todennäköistä ensimmäisessä ryhmässä. Kerroinsuhteen ei tarvitse olla negatiivinen, jos se on määritelty. Sitä ei ole määritelty, jos p2q1 on yhtä suuri kuin nolla, ts. Jos p2 on yhtä suuri kuin nolla tai q1 on yhtä suuri kuin nolla. kahden binäärisen satunnaismuuttujan yhteisestä todennäköisyysjakaumasta. Binaaristen satunnaismuuttujien X ja Y yhteinen jakauma voidaan kirjoittaa

Y = 1 Y = 0 X = 1 p 11 p 10 X = 0 p 01 p 00 {\ displaystyle {\ begin {array} {c | cc } & Y = 1 & Y = 0 \\\ hline X = 1 & p_ {11} & p_ {10} \\ X = 0 & p_ {01} & p_ {00} \ end {array}}}

missä p11, p10, p01 ja p00 eivät ole negatiivisia ”solutodennäköisyyksiä”, jotka summataan yhteen. Y: n kertoimet kahdella X = 1 ja X = 0 määrittelemällä alaryhmällä määritellään X: lle annettujen ehdollisten todennäköisyyksien eli P (Y | X):

Y = 1 Y = 0 X = 1 p 11 p 11 + p 10 p 10 p 11 + p 10 X = 0 p 01 p 01 + p 00 p 00 p 01 + p 00 {\ displaystyle {\ begin {array} {c | cc} & Y = 1 & Y = 0 \\\ hline X = 1 & {\ frac {p_ { 11}} {p_ {11} + p_ {10}}} & {\ frac {p_ {10}} {p_ {11} + p_ {10}}} \\ X = 0 & {\ frac {p_ {01}} {p_ {01} + p_ {00}}} & {\ frac {p_ {00}} {p_ {01} + p_ {00}}} \ end {array}}}

Kertosuhde on siis

p 11 / (p 11 + p 10) p 10 / (p 11 + p 10) / p 01 / (p 01 + p 00) p 00 / (p 01 + p 00) = p 11 p 00 p 10 p 01 {\ displaystyle {{\ dfrac {p_ {11} / (p_ {11} + p_ {10})} {p_ {10} / (p_ {11} + p_ {10})}} {\ bigg /} {\ dfrac {p_ {01} / (p_ {01 } + p_ {00})} {p_ {00} / (p_ {01} + p_ {00})}}}} = {\ dfrac {p_ {11} p_ {00}} {p_ {10} p_ {01 }}}}

Yllä olevan yksinkertaisen ilmauksen oikealla puolella on helppo muistaa ”samansuuntaisten solujen” todennäköisyyksien tulo (X = Y) jaettuna ”ristiriitaisten solujen” todennäköisyyksien tulolla (X = Y). Huomaa kuitenkin, että joissakin sovelluksissa luokkien merkitseminen nollaksi ja yhdeksi on mielivaltainen, joten näiden sovellusten konkordanteissa ja ristiriitaisuuksissa ei ole mitään erityistä.

SymmetryEdit

Jos olisimme laskeneet kerroin suhde Y: n ehdollisten todennäköisyyksien perusteella,

Y = 1 Y = 0 X = 1 p 11 p 11 + p 01 p 10 p 10 + p 00 X = 0 p 01 p 11 + p 01 p 00 p 10 + p 00 {\ displaystyle {\ begin {array} {c | cc} & Y = 1 & Y = 0 \ \\ hline X = 1 & {\ frac {p_ {11}} {p_ {11} + p_ {01}}} & {\ frac {p_ {10}} {p_ {10} + p_ {00}}} \\ X = 0 & {\ frac {p_ {01}} {p_ {11} + p_ {01}}} & {\ frac {p_ {00}} {p_ {10} + p_ {00}}} \ end {array}}}

olisimme saaneet saman tuloksen

p 11 / (p 11 + p 01) p 01 / (p 11 + p 01) / p 10 / (p 10 + p 00) p 00 / (p 10 + p 00) = p 11 p 00 p 10 p 01. {\ displaystyle {{\ dfrac {p_ {11} / (p_ {11} + p_ {01})} {p_ {01} / (p_ {11} + p_ {01})}} {\ bigg /} { \ dfrac {p_ {10} / (p_ {10} + p_ {00})} {p_ {00} / (p_ {10} + p_ {00})}}} = {\ dfrac {p_ {11} p_ {00}} {p_ {10} p_ {01}}}.}

Muilla binääridatan vaikutuksen koon mittareilla, kuten suhteellisella riskillä, ei ole tätä symmetriaominaisuutta.

Suhde tilastollisiin independentEdit

Jos X ja Y ovat riippumattomia, niiden yhteiset todennäköisyydet voidaan ilmaista niiden marginaalitodennäköisyydellä px = P (X = 1) ja py = P (Y = 1) seuraavasti

Y = 1 Y = 0 X = 1 pxpypx (1 – py) X = 0 (1 – px) py (1 – px) (1 – py) {\ displaystyle {\ begin {array} {c | cc} & Y = 1 & Y = 0 \\\ hline X = 1 & p_ { x} p_ {y} & p_ {x} (1-p_ {y}) \\ X = 0 & (1- p_ {x}) p_ {y} & (1-p_ {x}) (1-p_ {y}) \ end {array}}}

Tässä tapauksessa , kertoimien suhde on yhtä, ja päinvastoin kertoimien suhde voi olla yhtä suuri vain, jos yhteinen proba hyödyt voidaan ottaa huomioon tällä tavalla. Todennäköisyyden suhde on siis yksi ja vain, jos X ja Y ovat toisistaan riippumattomia.

Solun todennäköisyyksien palauttaminen kertoimien suhteesta ja marginaalitodennäköisyydistäMuokkaa

Kerroinsuhde on solun funktio todennäköisyydet ja päinvastoin, solutodennäköisyydet voidaan palauttaa, kun tiedetään kertoimien suhde ja marginaalitodennäköisyydet P (X = 1) = p11 + p10 ja P (Y = 1) = p11 + p01.Jos kertoimien suhde R eroaa 1: stä,

p 11 = 1 + (p 1 ⋅ + p ⋅ 1) (R – 1) – S 2 (R – 1) {\ displaystyle p_ {11} = { \ frac {1+ (p_ {1 \ cdot} + p _ {\ cdot 1}) (R-1) -S} {2 (R-1)}}}}

missä p1 • = p11 + p10, p • 1 = p11 + p01 ja

S = (1 + (p 1 ⋅ + p ⋅ 1) (R – 1)) 2 + 4 R (1 – R) p 1 ⋅ p ⋅ 1. {\ displaystyle S = {\ sqrt {(1+ (p_ {1 \ cdot} + p _ {\ cdot 1}) (R-1)) ^ {2} + 4R (1-R) p_ {1 \ cdot} p _ {\ cdot 1}}}.}

Tapauksessa, jossa R = 1, meillä on itsenäisyys, joten p11 = p1 • p • 1.

Kun meillä on p11, muut kolme solua todennäköisyydet voidaan helposti palauttaa marginaalitodennäköisyydestä.