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Als ich dieses Problem zum ersten Mal hörte, saß ich in einem 300-stufigen Mathematikstatistikkurs an einer kleinen Universität im pazifischen Nordwesten. Es war eine Klasse von ungefähr 30 Schülern, und der Professor wettete, dass mindestens zwei von uns denselben Geburtstag hatten.

Anschließend ließ er alle ihren Geburtstag angeben. Als ich an die Reihe kam, gab ich mein Geburtsdatum als „zwei Würfel, drei Würfel“ an, was die Klasse zum Lachen brachte, als unser Gehirnprofessor eine Weile brauchte, um das Datum zu entziffern.

Wie er es vorhergesagt hatte Als letzter Schüler wurden zwei passende Geburtstage gefunden.

Wie viel Glück hatte er also, ein passendes Paar gefunden zu haben?

Aufwärmen

Annahme: Der Einfachheit halber ignorieren wir die Möglichkeit, am 29. Februar geboren zu werden.

Beginnen wir mit einem einfachen Beispiel, um unser Gehirn aufzuwärmen:

Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit dafür? zwei Personen haben denselben Geburtstag?

Person A kann an jedem Tag des Jahres geboren werden, da sie die erste Person ist, die wir fragen. Die Wahrscheinlichkeit, an einem beliebigen Tag des Jahres geboren zu werden, beträgt 1 oder Genauer gesagt: 365/365.

Da Person B am selben Tag wie Person A geboren werden muss, beträgt ihre Wahrscheinlichkeit 1/365.

Wir möchten, dass beide Ereignisse so eintreten Multiplizieren Sie die Wahrscheinlichkeiten:

Sie haben also eine 0,27% ige Chance, auf einen Fremden zuzugehen und festzustellen, dass sein Geburtstag der gleiche ist wie Ihr Tag. Das ist ziemlich schlank.

Aber was ist mit einer größeren Gruppe?

Wie groß ist die Chance, dass mindestens 2 von 4 Personen denselben Geburtstag haben?

Gut zu Um dieses Problem zu lösen, müssten wir Folgendes berechnen:

• Wahrscheinlichkeit A und B haben denselben Geburtstag
• Wahrscheinlichkeit A und C haben denselben Geburtstag
• Wahrscheinlichkeit A und D haben denselben Geburtstag
• Wahrscheinlichkeit B und C haben denselben Geburtstag
• Wahrscheinlichkeit B und D haben denselben Geburtstag
• Wahrscheinlichkeit C und D haben denselben Geburtstag
• Wahrscheinlichkeit A, B und C haben denselben Geburtstag
• Wahrscheinlichkeit B, C und D haben denselben Geburtstag
• Wahrscheinlichkeit A. , C und D haben denselben Geburtstag
• Wahrscheinlichkeit A, B und D haben denselben Geburtstag
• Wahrscheinlichkeit A, B, C und D haben alle denselben Geburtstag

Yuck, das sind viele Berechnungen! Stellen Sie sich vor, wie viele Wahrscheinlichkeiten wir für ein Klassenzimmer mit 30 Schülern berechnen müssten!

Es muss einen besseren Weg geben …

Ein besserer Weg: der Trick des Komplements

Der einfachste Weg, um die Bajillion-Wahrscheinlichkeiten zu berechnen, besteht darin, das Problem aus einem anderen Blickwinkel zu betrachten:

Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass niemand denselben Geburtstag hat?

Diese alternative Übung ist hilfreich, da sie das genaue Gegenteil unseres ursprünglichen Problems (dh der Ergänzung) darstellt. In der Wahrscheinlichkeit wissen wir, dass die Summe aller möglichen Ergebnisse (dh der Probenraum) immer gleich 1 oder 100% Chance ist.

Da die Wahrscheinlichkeit, dass mindestens 2 Personen denselben Geburtstag haben und Die Wahrscheinlichkeit, dass niemand denselben Geburtstag hat, deckt alle möglichen Szenarien ab. Wir wissen, dass die Summe ihrer Wahrscheinlichkeiten 1 ist.

Oder gleichwertig:

Yay! Das ist viel einfacher zu berechnen.

Die Berechnung

Großartig! Wir sind endlich bereit herauszufinden, wie sicher eine Wette des Professors war.

Lassen Sie uns die Wahrscheinlichkeit berechnen, dass niemand in einem Raum mit 30 Personen denselben Geburtstag hat.

Gehen wir Schritt für Schritt vor:

• Der erste Schüler kann an jedem Tag geboren werden, daher geben wir ihm eine Wahrscheinlichkeit von 365/365.
• Der nächste Schüler ist jetzt auf 364 mögliche Tage begrenzt, sodass die Wahrscheinlichkeit des zweiten Schülers 364/365 beträgt.
• Der dritte Schüler kann an einem der verbleibenden 363 Tage geboren werden, also 363/365.

Dieses Muster setzt sich fort, sodass unser letzter Schüler eine Wahrscheinlichkeit von 336 hat / 365 (365 – 29 Tage, seit die Schüler vor ihr 29 potenzielle Tage verbraucht haben).

Multiplizieren Sie erneut alle 30 Wahrscheinlichkeiten miteinander:

Warte! Das ist ein bisschen chaotisch. Lassen Sie uns das aufräumen.

Da der Nenner dreißig 365 multipliziert ist, können wir ihn wie folgt umschreiben:

Verwenden wir Fakultäten (symbolisch :!), um diese Berechnung weiter zu bereinigen.

(Denken Sie daran, dass Fakultäten nützlich sind, um absteigende positive ganze Zahlen zu multiplizieren. Zum Beispiel 5! entspricht 5 • 4 • 3 • 2 • 1 = 120.)

Mit Fakultäten 365! würde dem Produkt aller absteigenden ganzen Zahlen von 365 bis 1 entsprechen. Wir wollen nur das Produkt der ganzen Zahlen von 365 bis 336, also teilen wir die fremden Zahlen durch Teilen von 365! von 335 !.

Hinweis: Wenn dies verwirrt, versuchen Sie es mit einem kleineren Wert wie 5! /3! = 5 • 4 • 3 • 2 • 1/3 • 2 • 1. Beachten Sie, wie die 3 • 2 • 1 sowohl im Zähler als auch im Nenner sind. Sie „stornieren“ und machen 5! / 3! = 5 • 4.

Wenn wir alles zusammenfügen, haben wir jetzt einen Ausdruck, der einfach in einen wissenschaftlichen Taschenrechner eingegeben werden kann:

Dies ergibt eine Wahrscheinlichkeit von 0,294 oder 29,4%, dass niemand in der Klasse denselben Geburtstag hat. Natürlich möchten wir das Komplement, also subtrahieren wir es von 1, um die Wahrscheinlichkeit zu ermitteln, dass mindestens 2 Personen in einer Gruppe von 30 Personen denselben Tag der Geburt teilen.

Es stellte sich heraus, dass dies eine ziemlich sichere Sache für unseren Professor war! Er hatte eine fast 71% ige Chance, dass zwei oder mehr von uns Geburtstag haben.

Eine Fünfundfünfzig-Chance

Viele Leute sind überrascht, wenn Sie diese Berechnung mit wiederholen Bei einer Gruppe von 23 Personen haben Sie immer noch eine 50% ige Chance, dass mindestens zwei Personen am selben Tag geboren wurden.

Das ist eine relativ kleine Gruppe von Personen, wenn man bedenkt, dass es 365 mögliche Geburtstage gibt! Dies bedeutet, dass in einer Gruppe von mehr als 23 Personen wahrscheinlich mindestens 2 Personen denselben Tag der Geburt teilen.

Was für ein verrücktes kleines Faktoid!

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