Du ved, at jeg kan lide MythBusters, ikke? Nå, jeg har tænkt mig at se på skydeskuddene i luftmyten i nogen tid. Nu er den tid. Hvis du ikke fangede den bestemte episode, ville MythBusters se, hvor farligt det var at skyde en kugle lige op i luften.

Jeg vil ikke skyde nogen kanoner eller endda smide kugler – det er til MythBusters. Hvad jeg vil gøre i stedet er at foretage en numerisk beregning af bevægelsen af en kugle skudt i luften. Her er hvad Adam sagde om kuglerne:

Se mere

• En .30-06 patron bliver 10.000 fod høj og tager 58 sekunder at komme ned igen
• En 9 mm vil gå 4000 fod og tage 37 sekunder at komme ned igen.

Adam kunne også eksperimentelt bestemme, at både 9 mm og .30-06 har en terminalhastighed på ca. 100 mph. Så det er det, jeg skal arbejde med. Åh – også, de målte, hvor langt en 9 mm kugle trængte ind i snavs (men de kunne ikke finde .30-06 dem).

Planen

Dette svarer faktisk til, at Hancock kastede en dreng. Grundplanen er at bruge en numerisk beregning til at modellere en kugles bevægelse. Når kuglen forlader pistolen, har den kræfter, der virker på den således:

Jeg lavede to kraftdiagrammer, fordi luftmodstandskraften vil være i modsat retning som bevægelsen. Dette betyder, at bevæge sig op kugle vil se anderledes ud end at gå ned. Så dette problem virker simpelt nok – ikke? Jeg har faktisk gjort dette før (her er et eksempel på luftmodstand på en fodbold). Men i dette tilfælde er der nogle andre ting at overveje.

• Fungerer den normale model for luftmodstand (er proportional med v2)?
• Hvad er trækkoefficienten af en kugle?
• Hvad med tætheden af luft? Behøver jeg tage det i betragtning?
• Hvad med ændringen i jordens tyngdefelt, når kuglen bevæger sig op?

Numerisk modellering

Jeg vil ikke gå i detaljerne, men hvis du har glemt det, fungerer den numeriske beregning på denne måde:

• Bryt bevægelsen i små små tidstrin. I løbet af disse trin kan jeg foregive (antage) at kraften er konstant. Med en lille nok tid er dette sandt nok.
• For hvert gangstrin: Beregn kraft
• Beregn ændring i momentum (forudsat konstant kraft)
• Beregn ændring i position (forudsat konstant momentum)
• gentag

Hvis du vil have flere detaljer om numeriske beregninger, skal du tjekke dette grundlæggende indlæg.

Startoplysninger

Jeg vil bare se på .30-06, men jeg har brug for nogle ballistiske oplysninger. Her er hvad jeg fandt (wikipedia, selvfølgelig)

• Slugmasse = 9,7 gram
• Snudehastighed = 880 m / s (faktisk er dette bare den hurtigste – den langsomste er 760 m / s og 14 g – ikke sikker på, hvilke Mythbusters der blev brugt)
• Terminalhastighed = 44,7 m / s

Luftmodstand

Hvis jeg vil modellere luftmodstanden, kan jeg bruge følgende:

Problemet er, at kugler går rigtig hurtigt. Jeg mener virkelig hurtigt. Det er ikke sikkert at antage, at trækkoefficienten (C) er konstant med hastighed. Wikipedia kommer til undsætning igen. I dette tilfælde er der denne meget nyttige tabel:

Der er tilsyneladende masser af debat om luftens træk ved en kugle. Jeg bruger bare tabellen ovenfor til at lave variabel trækkoefficient. Så det er C, jeg kan finde det effektive område ved at se på terminalhastigheden. Ved terminalhastighed er vægten = luftmodstand så:

Brug de kendte værdier for masse, g, C (fra tabellen) og luftens tæthed (ved havoverfladen) får jeg et areal på A = 3,45 x 10-4 m2. Wikipedia viser kuglen som en diameter på 7,823 mm – dette ville give et areal på 1,9 x 10-4 m2. Jeg antager, at disse er slags i den samme boldpark. Der er en måde at teste, hvad der er rigtigt – men jeg starter med en fra terminalhastigheden.

Densitet af luft

Dette begynder at blive kompliceret. God ting, jeg får en computer til at gøre alt arbejdet. Hvis MythBusters er korrekte, og kuglen bliver 10.000 fod høj, så bliver jeg nødt til at se på ændringen i luftens tæthed. Her er en forklaring på tætheden med højdeberegning. Ved hjælp af dette udtryk (som jeg ikke viser, fordi det er kedeligt), kan jeg plotte tæthed som en funktion af højde.Dette er det:

Tyngdekraftsafhængighed af højde

Selvfølgelig er tyngdefeltet ikke konstant med højden, men er det tæt nok? Det virkelige tyngdefelt (g) er:

Hvor G er den universelle tyngdekonstant, mE er jordens masse, RE er jordens radius, og h er højden over overfladen. Hvad ville værdien af g være ved 4000 meter? (MythBusters sagde, at kuglen gik 10.000 fod – ca. 3000 meter). Eller rettere, hvad ville være procentforskellen mellem overfladen og 3000 meter op? Det er 99,9% af værdien på overfladen. Jeg kan bare lade som om den er konstant.

Nu til beregning:

Her er et plot af kuglens lodrette position som en funktion af tiden, skudt lige op.

Nå, det stemmer ikke overens med MythBusters “-modellen. Hvad hvis jeg bruger den mindre arealværdi?

Bedre, men er stadig ikke enig? Jeg kunne prøve en anden kugle. Lad mig prøve den med lavere mundingshastighed, men højere masse. Jeg bruger en masse på 14 gram og en starthastighed på 760 m / s. Dette giver en maksimal højde på ca. 1300 meter med en samlet tid på ca. 34 sekunder.

I tror jeg ser en anden fejltagelse. Min tabel med trækkoefficienter matches med mach-nummer, ikke hastighed. Hvis jeg øger min højde, ændrer det lydens hastighed – doh! Okay, jeg synes ikke, det betyder noget for meget. Her er en hastighed på lydberegner. Det kommer fra NASA, så det skal være godt, ikke? Under alle omstændigheder står det, at lydhastigheden ved havets overflade er 340 m / s, ved 5000 meter er den 320 m / s. I stedet for at beregne hastigheden i enhver højde ændrede jeg bare lydens hastighed til 320 m / s. Det ændrer ikke rigtig den maksimale højde.

Måske er problemet med trækkoefficienten. Her er et plot af trækkoefficienten (C) som en funktion af hastighed.

Det ser “blokeret” ud, fordi jeg bare bruger data fra den Wikipedia-tabel. Men måske dette er problemet. Faktisk er problemet måske, at trækkoefficienttabellen ikke fungerer meget godt ved lave (meget lave) hastigheder.

Måske er det ikke engang forkert

Nu hvor jeg tænker over det, sagde MythBuster, at de simulerede .30-06, men da de skød det i luften, hørte de ikke og fandt aldrig kuglerne. Hvem ved, hvor lang tid det tog. De vidste tidspunktet for 9 mm kuglerne, de hørte dem ramme jorden. Lad mig køre mine beregninger med 9 mm info. Ved hjælp af en masse på 7,45 gram og en starthastighed på 435 m / s får jeg:

Hvilket synes meget tættere på hvad de (MythBusters) havde. Og jeg indså lige en ny fejl den .30-06. Jeg beregnede området med diameteren i stedet for radius.

Se. Det er bedre. Jeg håber, dette er en lektion for alle jer derude. Husk din faktor på 2 “s. Selvfølgelig, hvis jeg får dette til at fungere, er min terminalhastighed nu meget højere end hvad de målte. Nå ja.

Mit næste trin er at se på den endelige hastighed på kuglen, hvis du ikke skyder den lige op. Jeg formoder, at det er sådan, folk bliver dræbt.