→ For flere matematiske tutorials, se Math Hacks på YouTube! ←

Første gang jeg hørte dette problem, sad jeg på et 300-niveau matematisk statistik-kursus på et lille universitet i det nordvestlige Stillehav. Det var en klasse på omkring 30 studerende, og professoren satsede på, at mindst to af os havde samme fødselsdag.

Han fortsatte derefter med at få alle til at angive deres fødselsdag. Da det kom til min tur, sagde jeg min fødselsdato som “to terninger, tre terninger”, hvilket fik klassen til at grine, da vores cerebrale professor tog et stykke tid på at dechiffrere datoen.

Alligevel som han forudsagde, før han kom til den sidste elev var der fundet et par matchende fødselsdage.

Så hvor heldig var det, at han fandt et matchende par?

Opvarmning

Antagelse: For enkelheds skyld vil vi ignorere muligheden for at blive født den 29. februar.

Lad os begynde med et simpelt eksempel for at varme vores hjerner op:

Hvad er sandsynligheden for, at to mennesker deler den samme fødselsdag?

Person A kan fødes på en hvilken som helst dag i året, da de er den første person, vi beder om. Sandsynligheden for at blive født en hvilken som helst dag i året er 1 eller mere specifikt: 365/365.

Da person B skal fødes samme dag som person A, er sandsynligheden 1/365.

Vi ønsker, at begge disse begivenheder skal ske så gang sandsynlighederne:

Så du har en 0,27% chance for at gå op til en fremmed og opdage, at deres fødselsdag er den samme dag som din. Det er ret slank.

Men hvad med en større gruppe?

Hvad er chancen for, at mindst 2 ud af 4 personer deler samme fødselsdag?

Godt at løse dette problem skulle vi beregne alt det følgende:

• Sandsynlighed A og B deler samme fødselsdag
• Sandsynlighed A og C deler samme fødselsdag
• Sandsynlighed A og D deler samme fødselsdag
• Sandsynlighed B og C deler samme fødselsdag
• Sandsynlighed B og D deler samme fødselsdag
• Sandsynlighed C og D deler samme fødselsdag
• Sandsynlighed A, B og C deler samme fødselsdag
• Sandsynlighed B, C og D deler samme fødselsdag
• Sandsynlighed A , C og D deler samme fødselsdag
• Sandsynlighed A, B og D deler samme fødselsdag
• Sandsynlighed A, B, C og D deler alle samme fødselsdag

Yuck, det er mange beregninger! Forestil dig, hvor mange sandsynligheder vi skulle beregne for et klasselokale med 30 studerende!

Der skal være en bedre måde …

En bedre måde: komplikationens trick

Den enkleste måde at komme rundt ved beregning af bajillions sandsynligheder er at se på problemet fra en anden vinkel:

Hvad er sandsynligheden for, at ingen deler den samme fødselsdag?

Denne alternative øvelse er nyttig, fordi den er det helt modsatte af vores oprindelige problem (dvs. komplementet). Sandsynligvis ved vi, at summen af alle de mulige resultater (dvs. prøveområdet) altid er lig med 1 eller 100% chance.

Da sandsynligheden for, at mindst 2 personer har samme fødselsdag og sandsynligheden for, at ingen har samme fødselsdag dækker alle mulige scenarier, vi ved, at summen af deres sandsynligheder er 1.

Eller ækvivalent:

Yay! Det bliver meget lettere at beregne.

Beregningen

Awesome! Vi er endelig klar til at finde ud af, hvor sikkert et væddemål professoren lavede.

Lad os finde ud af sandsynligheden for, at ingen deler den samme fødselsdag ud af et rum på 30 personer.

Lad os tage dette trin for trin:

• Den første elev kan blive født hver dag, så vi giver ham en sandsynlighed for 365/365.
• Den næste studerende er nu begrænset til 364 mulige dage, så den anden studerendes sandsynlighed er 364/365.
• Den tredje studerende kan blive født på en hvilken som helst af de resterende 363 dage, så 363/365.

Dette mønster fortsætter, så vores sidste studerende har en sandsynlighed på 336 / 365 (365 – 29 dage siden de studerende før hende brugte 29 potentielle dage).

Igen multiplicerer alle 30 sandsynligheder sammen:

Vent! Det er lidt rodet. Lad os rydde op.

Da nævneren er tredive 365 ganget sammen, kunne vi omskrive den som:

Lad os bruge fakultet (symbolsk:!) til yderligere at rydde op i denne beregning.

(Husk, at fakultet er praktisk til at multiplicere faldende positive heltal sammen. For eksempel er 5! lig med 5 • 4 • 3 • 2 • 1 = 120.)

Brug af fakta, 365! ville svare til produktet af alle faldende heltal fra 365 ned til 1. Vi ønsker kun produktet af heltalene fra 365 til 336, så vi deler de fremmede tal ved at dividere 365! af 335 !.

Bemærk: Hvis dette forvirrer, kan du prøve en mindre værdi som 5! / 3! = 5 • 4 • 3 • 2 • 1/3 • 2 • 1. Læg mærke til, hvordan 3 • 2 • 1 er i både tælleren og nævneren. De ‘annullerer’ og gør 5! / 3! = 5 • 4.

Når vi sætter det hele sammen, har vi nu et udtryk, der let kan indtastes på en videnskabelig lommeregner:

Dette beregner til 0.294 eller 29.4% chance for at ingen i klassen har samme fødselsdag. Naturligvis vil vi have komplementet, så vi trækker det fra 1 for at finde sandsynligheden for, at mindst 2 personer i en gruppe på 30 deler samme fødselsdag.

Viser sig, at det var et ret sikkert spil for vores professor! Han havde en næsten 71% chance for, at to eller flere af os deler en fødselsdag.

En halvtreds-halvtreds chance

Mange mennesker er overraskede over at finde ud af, at hvis du gentager denne beregning med en gruppe på 23 personer har du stadig en 50% chance for, at mindst to mennesker blev født samme dag.

Det er en relativt lille gruppe mennesker i betragtning af, at der er 365 mulige fødselsdage! Det betyder, at i enhver gruppe på mere end 23 personer er det sandsynligt, at mindst 2 personer deler samme fødselsdag.

Hvilken skør lille faktoid!

❤ BLIV FORBINDET ❤

Hold dig informeret om alt, hvad Math Hacks har opdateret!