Inhalt (Klicken Sie hier, um zum Abschnitt zu gelangen):
- Beispiel für ein mittleres Symbol
- Was ist der Stichprobenmittelwert?
- So ermitteln Sie den Stichprobenmittelwert
- Varianz der Stichprobenverteilung des Stichprobenmittelwerts
- Berechnen Sie den Standardfehler für die Stichprobenmittelwert
Stichprobenmittelwertsymbol
Das Stichprobenmittelwertsymbol ist x̄, ausgesprochen „x bar“.
Was ist der Stichprobenmittelwert?
Der Stichprobenmittelwert ist ein Durchschnittswert, der in einer Stichprobe gefunden wurde.
Eine Stichprobe ist nur ein kleiner Teil eines Ganzen. Beispiel: Wenn Sie für ein Wahlbüro arbeiten und wissen möchten, wie viel Menschen pro Jahr für Lebensmittel bezahlen, möchten Sie nicht mehr als 300 Millionen Menschen befragen. Stattdessen nehmen Sie einen Bruchteil dieser 300 Millionen (vielleicht tausend Menschen). Dieser Bruch wird als Stichprobe bezeichnet. Der Mittelwert ist ein anderes Wort für „Durchschnitt“ . ” In diesem Beispiel wäre der Stichprobenmittelwert der durchschnittliche Betrag, den diese tausend Menschen pro Jahr für Lebensmittel bezahlen.
Der Stichprobenmittelwert ist nützlich, da Sie damit abschätzen können, was die gesamte Bevölkerung tut, ohne alle zu befragen . Nehmen wir an, Ihr Stichprobenmittelwert für das Lebensmittelbeispiel betrug 2400 USD pro Jahr. Die Chancen stehen gut, dass Sie eine sehr ähnliche Zahl erhalten würden, wenn Sie alle 300 Millionen Menschen befragen würden. Der Stichprobenmittelwert spart also viel Zeit und Geld.
Stichprobenmittelwertformel
Die Stichprobenmittelwertformel lautet:
x̄ = (Σ xi) / n
Wenn das kompliziert aussieht, ist es einfacher als Sie denken (obwohl Sie unsere Nachhilfeseite besuchen, wenn Sie Hilfe benötigen!). Erinnern Sie sich an die Formel, um einen „Durchschnitt“ in der Grundmathematik zu finden? Es ist genau dasselbe, nur die Notation (dh die Symbole) sind nur unterschiedlich. Lassen Sie es uns in Teile zerlegen:
- x̄ nur steht für „Stichprobenmittelwert“
- Σ ist Summationsnotation, was „addieren“ bedeutet
- xi „alle x-Werte“
- n bedeutet „Die Anzahl der Elemente im Beispiel“
Jetzt müssen Sie nur noch die Zahlen eingeben, die Sie erhalten, und sie mit Arithmetik lösen (es ist keine Algebra erforderlich – Sie können dies grundsätzlich einstecken an einen beliebigen Rechner).
Möglicherweise wird die folgende alternative Durchschnittsformel angezeigt:
x̄ = 1 / n * (Σ xi)
Der Aufbau ist etwas anders, aber algebraisch ist es dieselbe Formel (wenn Sie die Formel 1 / n * X vereinfachen, erhalten Sie 1 / X).
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So finden Sie den Stichprobenmittelwert
Sehen Sie sich das Video an oder lesen Sie die folgenden Schritte:
So ermitteln Sie den Beispielmittelwert: Übersicht
Teilen Sie die Summe durch die Anzahl der Elemente, um den Mittelwert zu ermitteln.
Das Ermitteln des Stichprobenmittelwerts unterscheidet sich nicht vom Ermitteln des Durchschnitts einer Reihe von Zahlen. In der Statistik werden Sie auf eine etwas andere Notation stoßen, als Sie es wahrscheinlich gewohnt sind, aber die Mathematik ist genau die gleiche.
Die Formel zum Ermitteln des Stichprobenmittelwerts lautet:
= (Σ xi) / n.
Diese Formel sagt nur, dass alle Zahlen in Ihrem Datensatz addiert werden (Σ bedeutet „addieren“ und xi bedeutet „alle Zahlen in“ der Datensatz). In diesem Artikel erfahren Sie, wie Sie den Stichprobenmittelwert von Hand ermitteln (dies ist auch eine der AP Statistics-Formeln). Wenn Sie jedoch den Stichprobenmittelwert ermitteln, werden Sie wahrscheinlich andere beschreibende Statistiken finden, z. B. die Stichprobenvarianz oder den Interquartilbereich. Daher sollten Sie den Stichprobenmittelwert in Excel oder einer anderen Technologie ermitteln. Warum? Obwohl die Berechnung des Mittelwerts ziemlich einfach ist, müssen Sie die Zahlen nur einmal eingeben, wenn Sie Excel verwenden. Danach können Sie die Zahlen verwenden, um eine Statistik zu finden: nicht nur den Stichprobenmittelwert.
So ermitteln Sie den Stichprobenmittelwert: Schritte
Schritt 1: Addieren Sie alle Zahlen :
12 + 13 + 14 + 16 + 17 + 40 + 43 + 55 + 56 + 67 + 78 + 78 + 79 + 80 + 81 + 90 + 99 + 101 + 102 + 304 + 306 + 400 + 401 + 403 + 404 + 405 = 3744.
Schritt 2: Zählen Sie die Anzahl der Elemente in Ihrem Datensatz. In diesem speziellen Datensatz gibt es 26 Elemente.
Schritt 3: Teilen Sie die in Schritt 1 gefundene Nummer durch die in Schritt 2 gefundene Nummer. 3744/26 = 144.
Das war’s!
Tipp: Wenn Sie zeigen müssen, wie Sie an einem Test arbeiten, fügen Sie einfach die beiden Zahlen in die Formel ein. Schritt 1 gibt Ihnen das σ und Schritt 2 gibt Ihnen n:
x = (Σ xi) / n
= 3744/26
= 144
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Sehen Sie sich das Video an oder lesen Sie den folgenden Artikel:
Eine Stichprobenverteilung mit dem Mittelwert = 6. Bild: U von Oklahoma
Die Stichprobenverteilung des Stichprobenmittelwerts ist eine Wahrscheinlichkeitsverteilung aller Stichprobenmittelwerte. Nehmen wir an, Sie hatten 1.000 Personen und haben jeweils 5 Personen befragt und ihre durchschnittliche Größe berechnet. Wenn Sie weiterhin Proben genommen haben (dh Sie haben die Probenahme tausendmal wiederholt), ergibt sich schließlich der Mittelwert aller Ihrer Probenmittel:
- Entspricht dem Populationsmittelwert, μ
- Sieht aus wie a Normalverteilungskurve.
Die Varianz dieser Wahrscheinlichkeitsverteilung gibt Ihnen eine Vorstellung davon, wie weit Ihre Daten um den Mittelwert verteilt sind. Je größer die Stichprobe ist, desto genauer repräsentiert der Stichprobenmittelwert den Populationsmittelwert. Mit anderen Worten, wenn N größer wird, wird die Varianz kleiner. Wenn der Stichprobenmittelwert mit dem Populationsmittelwert übereinstimmt, ist die Varianz idealerweise gleich Null.
Die Formel zum Ermitteln der Varianz der Stichprobenverteilung des Mittelwerts lautet:
σ2M = σ2 / N,
wobei:
σ2M = Varianz der Stichprobenverteilung des Stichprobenmittelwerts.
σ2 = Populationsvarianz.
N = Ihre Stichprobengröße.
Stichprobenfrage: Wenn eine Zufallsstichprobe von Größe 19 wird aus einer Populationsverteilung mit der Standardabweichung α = 20 gezogen. Wie groß ist dann die Varianz der Stichprobenverteilung des Stichprobenmittelwerts?
Schritt 1: Ermitteln Sie die Populationsvarianz. Die Varianz ist das Quadrat der Standardabweichung, also:
σ2 = 202 = 400.
Schritt 2: Teilen Sie die Varianz durch die Anzahl der Elemente in der Stichprobe. Dieses Beispiel enthält 19 Elemente, also:
400/19 = 21.05.
Das war’s!
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Berechnen Sie den Standardfehler für das Beispiel Mittelwert
Sehen Sie sich das Video an oder lesen Sie den folgenden Artikel:
Berechnen des Standardfehlers für das Beispiel Mittelwert: Übersicht
Standardfehler für den Stichprobenmittelwert „s.“
Der Standardfehler des Mittelwerts einer Stichprobe entspricht der Standardabweichung für die Stichprobe. Der Unterschied zwischen Standardfehler und Standardabweichung besteht darin, dass Sie bei Standardabweichungen Populationsdaten (dh Parameter) und bei Standardfehlern verwenden Sie verwenden Daten aus Ihrer Stichprobe. Sie können den Standardfehler für den Stichprobenmittelwert mithilfe der folgenden Formel berechnen:
SE = s / √ (n)
SE = Standardfehler, s = Standardabweichung für Ihre Stichprobe und n ist die Anzahl der Elemente in Ihrer Stichprobe.
Standardfehler für den Stichprobenmittelwert berechnen: Schritte
Beispiel: Ermitteln Sie den Standardfehler für die folgenden Höhen (in cm): Jim (170,5), John (161), Jack (160) , Freda (170), Tai (150,5).
Schritt 1: Ermitteln Sie den Mittelwert (den Durchschnitt) des Datensatzes: (170,5 + 161 + 160 + 170 + 150,5) / 5 = 162,4.
Schritt 3: Quadrieren Sie die in Schritt 2 berechneten Zahlen:
-8,1 * -8,1 = 65,61
1,4 * 1,4 = 1,96
2,4 * 2,4 = 5,76
-7,6 * -7,6 = 57,76
11,9 * 11,9 = 141,61
Schritt 4: Addieren Sie die in Schritt 3 berechneten Werte:
65,61 + 1,96 + 5,76 + 57,76 + 141,61 = 272,7
Schritt 5: Teilen Sie die in Schritt 4 gefundene Zahl durch Ihre Stichprobengröße – 1. Die Stichprobe enthält fünf Elemente, also n-1 = 4:
272,7 / 4 = 68,175.
Schritt 6: Nehmen Sie die Quadratwurzel der Zahl, die Sie in Schritt 5 gefunden haben. Dies ist Ihre Standardabweichung.
√ (68.175) = 8.257
So berechnen Sie den Standard Fehler für den Stichprobenmittelwert!
Tipp: Wenn Sie aufgefordert werden, den „Standardfehler“ für eine Stichprobe zu ermitteln, ermitteln Sie in den meisten Fällen den Stichprobenfehler für den Mittelwert mithilfe der Formel SE = s / √n. Es gibt jedoch verschiedene Arten von Standardfehlern (dh für Proportionen). Sie sollten daher sicherstellen, dass Sie die richtige Statistik berechnen.
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