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Was ist die Poisson-Verteilung?

Eine Poisson-Verteilung ist ein Tool, mit dem Sie die Wahrscheinlichkeit des Eintretens bestimmter Ereignisse vorhersagen können, wenn Sie wissen, wie oft das Ereignis aufgetreten ist. Es gibt uns die Wahrscheinlichkeit, dass eine bestimmte Anzahl von Ereignissen in einem festgelegten Zeitintervall auftritt.

Poisson-Verteilungen, nur gültig für ganze Zahlen auf der horizontalen Achse. λ (auch als μ geschrieben) ist die erwartete Anzahl von Ereignissen.

Praktische Verwendung der Poisson-Verteilung

Ein Lehrbuchladen vermietet jeden Samstag durchschnittlich 200 Bücher Nacht. Anhand dieser Daten können Sie die Wahrscheinlichkeit vorhersagen, dass an den folgenden Samstagnächten mehr Bücher verkauft werden (möglicherweise 300 oder 400). Ein weiteres Beispiel ist die Anzahl der Gäste in einem bestimmten Restaurant pro Tag. Wenn die durchschnittliche Anzahl der Gäste an sieben Tagen 500 beträgt, können Sie die Wahrscheinlichkeit vorhersagen, dass ein bestimmter Tag mehr Kunden hat.

Aufgrund dieser Anwendung werden Poisson-Verteilungen von Geschäftsleuten verwendet, um Prognosen über die Anzahl der Gäste zu erstellen Kunden oder Verkäufe an bestimmten Tagen oder Jahreszeiten. In der Wirtschaft bedeutet Überbestände manchmal Verluste, wenn die Waren nicht verkauft werden. Ebenso würde ein zu geringer Lagerbestand immer noch eine verpasste Geschäftsmöglichkeit bedeuten, da Sie Ihren Umsatz aufgrund eines Lagermangels nicht maximieren konnten. Mit diesem Tool können Geschäftsleute den Zeitpunkt abschätzen, zu dem die Nachfrage ungewöhnlich hoch ist, sodass sie mehr Lagerbestände kaufen können. Hotels und Restaurants könnten sich auf einen Zustrom von Kunden vorbereiten, zusätzliche Zeitarbeitskräfte im Voraus einstellen, mehr Vorräte kaufen oder Notfallpläne erstellen, falls sie ihre Gäste, die in die Region kommen, nicht unterbringen können.
Mit der Poisson-Distribution können Unternehmen kann das Angebot an die Nachfrage anpassen, um das Geschäft mit guten Gewinnen zu versorgen. Außerdem wird eine Verschwendung von Ressourcen verhindert.

Berechnung der Poisson-Verteilung

Die Poisson-Verteilung pmf lautet: P (x; μ ) = (e-μ * μx) / x!

Wo:

• Das Symbol „!“ ist eine Fakultät.
• μ (die erwartete Anzahl von Vorkommen) wird manchmal als λ geschrieben. Wird manchmal als Ereignisrate oder Ratenparameter bezeichnet.

Beispielfrage

Die durchschnittliche Anzahl größerer Stürme in Ihrer Stadt beträgt 2 pro Jahr. Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass im nächsten Jahr genau 3 Stürme Ihre Stadt treffen?

Schritt 1: Finden Sie heraus, welche Komponenten Sie benötigen in die Gleichung einfügen.

Schritt 2: Fügen Sie die Werte aus Schritt 1 in die Poisson-Verteilungsformel ein:

• P (x; μ) = (e-μ) (μx) / x!
• = (2.71828 – 2) (23) / 3!
• = (0,13534) (8) / 6
• = 0,180

Die Wahrscheinlichkeit von 3 Stürmen Das nächste Jahr ist 0,180 oder 18%.

Wie Sie wahrscheinlich sehen können, können Sie die Poisson-Verteilung manuell berechnen, aber das würde außerordentlich viel Zeit in Anspruch nehmen, wenn Sie nicht über einen einfachen Datensatz verfügen. Der übliche Weg eine Poisson-Verteilung in der realen Situation zu berechnen ns ist mit Software wie IBM SPSS.

Poisson-Verteilung vs. Binomial

Das obige Beispiel wurde zu stark vereinfacht, um Ihnen zu zeigen, wie Sie ein Problem lösen können. Es kann jedoch schwierig sein, herauszufinden, ob Sie eine Binomialverteilung oder eine Poisson-Verteilung verwenden sollten. Wenn Sie von Ihrem Ausbilder keine spezifische Richtlinie erhalten haben, verwenden Sie die folgende allgemeine Richtlinie.

• Wenn Ihre Frage eine durchschnittliche Wahrscheinlichkeit hat, dass ein Ereignis pro Einheit auftritt (dh pro Zeiteinheit, Zyklus, Ereignis), und Sie die Wahrscheinlichkeit ermitteln möchten, dass eine bestimmte Anzahl von Ereignissen in einem Zeitraum auftritt von Zeit (oder Anzahl von Ereignissen), verwenden Sie dann die Poisson-Verteilung.
• Wenn Sie eine genaue Wahrscheinlichkeit erhalten und die Wahrscheinlichkeit ermitteln möchten, dass das Ereignis eine bestimmte Anzahl von Zeitüberschreitungen außerhalb von x (dh) eintritt Verwenden Sie 10-mal von 100 oder 99-mal von 1000) die Binomialverteilungsformel.

Primzahlen und die Poisson-Verteilung

Es besteht eine Verbindung zwischen dem Poisson Verteilung und der Primzahlsatz: Kurze Intervalle von Primzahlen fallen in die ungefähre Form einer Poisson-Verteilung.

Die Poisson-Verteilungsformel lautet: P (x; μ) = (e-μ) (μx) / x!

Nehmen wir an, dass x (wie bei der Primzählfunktion eine sehr große Zahl ist, wie x = 10100. Wenn Sie eine Zufallszahl wählen, die kleiner ist als oder gleich x beträgt die Wahrscheinlichkeit, dass diese Zahl eine Primzahl ist, etwa 0,43 Prozent.Wenn Sie dieses Intervall mit μx > 0 und j unter etwa 20 sehr kurz machen, folgt die Anzahl der Primzahlen im Intervall ungefähr einer Poisson-Verteilung (Croot, 2010).

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