Rozkłady prawdopodobieństwa >

Co to jest rozkład Poissona?

Rozkład Poissona to narzędzie, które pomaga przewidzieć prawdopodobieństwo wystąpienia pewnych zdarzeń, gdy wiesz, jak często zdarzenie miało miejsce. Daje nam prawdopodobieństwo wystąpienia określonej liczby zdarzeń w określonym przedziale czasu.

Rozkłady Poissona, ważne tylko dla liczb całkowitych na osi poziomej. λ (zapisywane również jako μ) to oczekiwana liczba zdarzeń.

Praktyczne zastosowania dystrybucji Poissona

Sklep z podręcznikami wypożycza średnio 200 książek w każdą sobotę noc. Korzystając z tych danych, możesz przewidzieć prawdopodobieństwo, że więcej książek zostanie sprzedanych (być może 300 lub 400) w kolejne sobotnie wieczory. Innym przykładem jest liczba gości w danej restauracji każdego dnia. Jeśli średnia liczba gości w ciągu siedmiu dni wynosi 500, można przewidzieć prawdopodobieństwo, że w danym dniu będzie więcej klientów.

Dzięki tej aplikacji biznesmeni używają rozkładów Poissona do prognozowania liczby klientów lub sprzedaż w określone dni lub pory roku. W biznesie nadmiar zapasów może czasami oznaczać straty, jeśli towary nie zostaną sprzedane. Podobnie posiadanie zbyt małej liczby zapasów nadal oznaczałoby utratę okazji biznesowej, ponieważ nie byłeś w stanie zmaksymalizować sprzedaży z powodu niedoboru zapasów. Korzystając z tego narzędzia, biznesmeni są w stanie oszacować czas, w którym popyt jest niezwykle wyższy, dzięki czemu mogą zakupić więcej zapasów. Hotele i restauracje mogłyby przygotować się na napływ klientów, z wyprzedzeniem zatrudnić dodatkowych pracowników tymczasowych, zakupić więcej zapasów lub sporządzić plany awaryjne na wypadek, gdyby nie były w stanie pomieścić gości przybywających do tego obszaru.
Dzięki dystrybucji Poissona firmy mogą dostosować podaż do popytu, aby ich biznes przynosił dobre zyski. Ponadto zapobiega się marnowaniu zasobów.

Obliczanie rozkładu Poissona

Rozkład Poissona pmf wynosi: P (x; μ ) = (e-μ * μx) / x!

Gdzie:

• Symbol „!” jest silnią.
• μ (oczekiwana liczba wystąpień) jest czasami zapisywane jako λ. Czasami nazywany częstością zdarzeń lub parametrem szybkości.

Przykładowe pytanie

Średnia liczba poważnych burz w Twoim mieście wynosi 2 rocznie. Jakie jest prawdopodobieństwo, że dokładnie 3 burze uderzą w Twoje miasto w przyszłym roku?

Krok 1: Określ elementy potrzebne do umieścić w równaniu.

Krok 2: Podłącz wartości z kroku 1 do wzoru na rozkład Poissona:

• P (x; μ) = (e-μ) (μx) / x!
• = (2,71828 – 2) (23) / 3!
• = (0.13534) (8) / 6
• = 0.180

Prawdopodobieństwo 3 burz w przyszłym roku to 0,180, czyli 18%.

Jak zapewne można stwierdzić, rozkład Poissona można obliczyć ręcznie, ale zajęłoby to nadzwyczajną ilość czasu, chyba że dysponowałbyś prostym zestawem danych. Zwykły sposób obliczyć rozkład Poissona w rzeczywistej sytuacji ns jest z oprogramowaniem takim jak IBM SPSS.

Rozkład Poissona a dwumian

Powyższy przykład został nadmiernie uproszczony, aby pokazać, jak rozwiązać problem. Jednak ustalenie, czy należy używać rozkładu dwumianowego, czy rozkładu Poissona, może być trudne. Jeśli nie otrzymałeś od instruktora konkretnych wskazówek, zastosuj się do następujących ogólnych wskazówek.

• Jeśli Twoje pytanie ma średnie prawdopodobieństwo wystąpienia zdarzenia na jednostkę (tj. na jednostkę czasu, cykl, wydarzenie) i chcesz znaleźć prawdopodobieństwo wystąpienia określonej liczby zdarzeń w okresie czasu (lub liczby zdarzeń), a następnie użyj rozkładu Poissona.
• Jeśli masz dokładne prawdopodobieństwo i chcesz znaleźć prawdopodobieństwo zajścia zdarzenia określoną liczbę razy poza x (tj. 10 razy na 100 lub 99 razy na 1000), użyj wzoru na rozkład dwumianowy.

liczby pierwsze i rozkład Poissona

Istnieje związek między układem Poissona rozkład i twierdzenie o liczbach pierwszych: Krótkie przedziały liczb pierwszych wpadają w przybliżony kształt rozkładu Poissona.

Wzór na rozkład Poissona to: P (x; μ) = (e-μ) (μx) / x!

Powiedzmy, że x (tak jak w funkcji liczenia liczb pierwszych jest bardzo dużą liczbą, na przykład x = 10100. Jeśli wybierzesz liczbę losową, to mniej niż lub równe x, prawdopodobieństwo, że ta liczba jest liczbą pierwszą, wynosi około 0,43%.Ponadto, jeśli zrobisz ten przedział bardzo krótkim, z μx > 0 i j poniżej około 20, to liczba liczb pierwszych w przedziale będzie mniej więcej zgodna z rozkładem Poissona (Croot, 2010).

———————————- ——————————————–

Potrzebujesz pomocy z zadaniem domowym lub pytaniem testowym? Dzięki Chegg Study możesz uzyskać szczegółowe rozwiązania swoich pytań od eksperta w tej dziedzinie. Twoje pierwsze 30 minut z korepetytorem Chegg jest bezpłatne!