Kansverdelingen >

Wat is de Poisson-verdeling?

Een Poisson-verdeling is een hulpmiddel dat helpt bij het voorspellen van de kans dat bepaalde gebeurtenissen zich voordoen als u weet hoe vaak de gebeurtenis heeft plaatsgevonden. Het geeft ons de kans dat een bepaald aantal gebeurtenissen plaatsvindt binnen een vast tijdsinterval.

Poisson-verdelingen, alleen geldig voor gehele getallen op de horizontale as. λ (ook geschreven als μ) is het verwachte aantal gebeurtenissen.

Praktisch gebruik van de Poisson-distributie

Een leerboekenwinkel huurt elke zaterdag gemiddeld 200 boeken nacht. Met behulp van deze gegevens kunt u de kans voorspellen dat er meer boeken worden verkocht (misschien 300 of 400) op de volgende zaterdagavond. Een ander voorbeeld is het aantal gasten per dag in een bepaald restaurant. Als het gemiddelde aantal dineergasten gedurende zeven dagen 500 is, kunt u de kans voorspellen dat een bepaalde dag meer klanten heeft.

Vanwege deze toepassing worden Poisson-verdelingen door zakenmensen gebruikt om voorspellingen te doen over het aantal klanten of verkopen op bepaalde dagen of seizoenen van het jaar. In het bedrijfsleven leidt overbevoorrading soms tot verliezen als de goederen niet worden verkocht. Evenzo zou het hebben van te weinig voorraden nog steeds een gemiste zakelijke kans betekenen omdat u uw omzet niet kon maximaliseren vanwege een tekort aan voorraad. Door deze tool te gebruiken, kunnen zakenmensen de tijd schatten waarop de vraag ongewoon hoger is, zodat ze meer voorraad kunnen kopen. Hotels en restaurants kunnen zich voorbereiden op een toestroom van klanten, ze kunnen van tevoren extra tijdelijke krachten inhuren, meer benodigdheden kopen of noodplannen maken voor het geval ze hun gasten die naar het gebied komen niet kunnen ontvangen.
Met de Poisson-distributie kunnen bedrijven kunnen het aanbod aan de vraag aanpassen om ervoor te zorgen dat hun bedrijf goede winst blijft maken. Bovendien wordt verspilling van middelen voorkomen.

Berekening van de Poisson-verdeling

De Poisson-verdeling pmf is: P (x; μ ) = (e-μ * μx) / x!

Waar:

• Het symbool “!” is een faculteit.
• μ (het verwachte aantal keren dat voorkomt) wordt soms geschreven als λ. Soms ook wel de event rate of rate parameter genoemd.

Voorbeeldvraag

Het gemiddelde aantal grote stormen in uw stad is 2 per jaar. Wat is de kans dat er volgend jaar precies 3 stormen in uw stad zullen komen?

Stap 1: Zoek uit welke componenten u nodig heeft om in de vergelijking.

Stap 2: Plug de waarden van stap 1 in de Poisson-verdelingsformule:

• P (x; μ) = (e-μ) (μx) / x!
• = (2.71828 – 2) (23) / 3!
• = (0.13534) (8) / 6
• = 0.180

De kans op 3 stormen volgend jaar is 0,180 of 18%

Zoals je waarschijnlijk wel kunt zien, kun je de Poisson-verdeling handmatig berekenen, maar dat zou buitengewoon veel tijd kosten, tenzij je een eenvoudige set gegevens hebt. De gebruikelijke manier om een Poisson-verdeling in de praktijk te berekenen ns is met software zoals IBM SPSS.

Poisson-verdeling vs. binominaal

Het bovenstaande voorbeeld was te versimpeld om u te laten zien hoe u een probleem kunt oplossen. Het kan echter een uitdaging zijn om erachter te komen of u een binominale of een Poisson-verdeling moet gebruiken. Als je geen specifieke richtlijn van je instructeur hebt gekregen, gebruik dan de volgende algemene richtlijn.

• Als uw vraag een gemiddelde kans heeft dat een gebeurtenis plaatsvindt per eenheid (dwz per tijdseenheid, cyclus, gebeurtenis) en u de waarschijnlijkheid wilt vinden dat een bepaald aantal gebeurtenissen in een bepaalde periode plaatsvindt van tijd (of aantal gebeurtenissen), gebruik dan de Poisson-verdeling.
• Als u een exacte kans krijgt en u wilt de waarschijnlijkheid vinden dat de gebeurtenis een bepaald aantal keer uit x (dwz 10 keer van de 100, of 99 keer van de 1000), gebruik dan de binominale distributieformule.

Primes en de Poisson-distributie

Er is een verband tussen de Poisson verdeling en de priemgetalstelling: Korte intervallen van priemgetallen vallen bij benadering in de vorm van een Poisson-verdeling.

De Poisson-verdelingsformule is: P (x; μ) = (e-μ) (μx) / x!

Laten we zeggen dat x (zoals in de functie voor het tellen van priemgetallen een heel groot getal is, zoals x = 10100. Als je een willekeurig getal kiest, is dat minder dan of gelijk aan x, is de kans dat dat getal een priemgetal is ongeveer 0,43 procent.Als je dat interval bovendien erg kort maakt, met μx > 0 en j onder ongeveer 20, dan volgt het aantal priemgetallen in het interval ruwweg een Poisson-verdeling (Croot, 2010).

———————————- ——————————————–

Hulp nodig bij een huiswerk- of testvraag? Met Chegg Study kunt u stapsgewijze oplossingen voor uw vragen krijgen van een expert in het veld. Je eerste 30 minuten met een Chegg-tutor is gratis!