Vurder modellfunksjonen

y = α + β x, {\ displaystyle y = \ alpha + \ beta x,}

som beskriver en linje med skråning β og y-skjæringspunkt α. Generelt kan et slikt forhold ikke være akkurat for den stort sett uobserverte verdipopulasjonen til de uavhengige og avhengige variablene; vi kaller uobserverte avvik fra ovenstående ligning for feilene. Anta at vi observerer n datapar og kaller dem {(xi, yi), i = 1, …, n}. Vi kan beskrive det underliggende forholdet mellom yi og xi som involverer dette feiluttrykket εi ved

y i = α + β x i + ε i. {\ displaystyle y_ {i} = \ alpha + \ beta x_ {i} + \ varepsilon _ {i}.}

Dette forholdet mellom de sanne (men ikke observerte) underliggende parametrene α og β og datapunktene kalles en lineær regresjonsmodell.

ε ^ i = yi – α – β xi. {\ displaystyle {\ widehat {\ varepsilon}} _ {i} = y_ {i} – \ alpha – \ beta x_ {i}.} Finn min α, β Q (α, β), for Q (α, β ) = ∑ i = 1 n ε ^ i 2 = ∑ i = 1 n (yi – α – β xi) 2. {\ displaystyle {\ text {Finn}} \ min _ {\ alpha, \, \ beta} Q (\ alpha, \ beta), \ quad {\ text {for}} Q (\ alpha, \ beta) = \ sum _ {i = 1} ^ {n} {\ widehat {\ varepsilon}} _ {i} ^ {\, 2} = \ sum _ {i = 1} ^ {n} (y_ {i} – \ alpha – \ beta x_ {i}) ^ {2} \.} α ^ = y ¯ – (β ^ x ¯), β ^ = ∑ i = 1 n (xi – x ¯) (yi – y ¯) ∑ i = 1 n (xi – x ¯) 2 = sx, ysx 2 = rxysysx. {\ textstyle {\ begin {align} {\ widehat {\ alpha}} & = {\ bar {y}} – ({\ widehat {\ beta}} \, { \ bar {x}}), \\ {\ widehat {\ beta}} & = {\ frac {\ sum _ {i = 1} ^ {n} (x_ { i} – {\ bar {x}}) (y_ {i} – {\ bar {y}})} {\ sum _ {i = 1} ^ {n} (x_ {i} – {\ bar {x }}) ^ {2}}} \\ & = {\ frac {s_ {x, y}} {s_ {x} ^ {2}}} \\ & = r_ {xy} {\ frac {s_ {y}} {s_ {x}}}. \\\ slutt {justert}}}

Her har vi introdusert

Erstatter uttrykkene ovenfor for α ^ {\ displaystyle {\ widehat {\ alpha}}} og β ^ {\ displaystyle {\ widehat {\ beta}}} i

f = α ^ + β ^ x, {\ displaystyle f = {\ widehat {\ alpha}} + {\ widehat {\ beta}} x,}

gir

f – y ¯ sy = rxyx – x ¯ sx. {\ displaystyle {\ frac {f – {\ bar {y}}} {s_ {y}}} = r_ {xy} {\ frac {x – {\ bar {x}}} {s_ {x}}} .}

Dette viser at rxy er skråningen til regresjonslinjen til de standardiserte datapunktene (og at denne linjen går gjennom opprinnelsen).

Generalisering av x ¯ {\ displaystyle {\ bar { x}}} notasjon, kan vi skrive en horisontal stolpe over et uttrykk for å indikere gjennomsnittsverdien for det uttrykket over settet med prøver. For eksempel:

x y ¯ = 1 n ∑ i = 1 n x i y i. {\ displaystyle {\ overline {xy}} = {\ frac {1} {n}} \ sum _ {i = 1} ^ {n} x_ {i} y_ {i}.}

Denne notasjonen tillater oss en kort formel for rxy:

rxy = xy ¯ – x ¯ y ¯ (x 2 ¯ – x ¯ 2) (y 2 ¯ – y ¯ 2). {\ displaystyle r_ {xy} = {\ frac {{\ overline {xy}} – {\ bar {x}} {\ bar {y}}} {\ sqrt {\ left ({\ overline {x ^ {2) }}} – {\ bar {x}} ^ {2} \ høyre) \ venstre ({\ overline {y ^ {2}}} – {\ bar {y}} ^ {2} \ høyre)}} .}

Bestemmelseskoeffisienten («R kvadrat») er lik rxy 2 {\ displaystyle r_ {xy} ^ {2}} når modellen er lineær med en enkelt uavhengig variabel. Se eksemplets korrelasjonskoeffisient for ytterligere detaljer.

Intuitiv forklaring Rediger

β ^ = ∑ i = 1 n (xi – x ¯) (yi – y ¯) ∑ i = 1 n (xi – x ¯) 2 = ∑ i = 1 n (xi – x ¯) 2 ∗ (yi – y ¯) (xi – x ¯) ∑ i = 1 n (xi – x ¯) 2 {\ displaystyle {\ begin {justert} {\ widehat {\ beta}} & = {\ frac {\ sum _ {i = 1} ^ {n} (x_ {i} – {\ bar {x}} ) (y_ {i} – {\ bar {y}})} {\ sum _ {i = 1} ^ {n} (x_ {i} – {\ bar {x}}) ^ {2}}} = {\ frac {\ sum _ {i = 1} ^ {n} (x_ {i} – {\ bar {x}}) ^ {2} * {\ frac {(y_ {i} – {\ bar {y }})} {(x_ {i} – {\ bar {x}})}}} {\ sum _ {i = 1} ^ {n} (x_ {i} – {\ bar {x}}) ^ {2}}} \\\ end {align}}} α ^ = y ¯ – β ^ x ¯, {\ displaystyle {\ begin {align} {\ widehat {\ alpha}} & = {\ bar {y}} – {\ widehat {\ beta}} \, {\ bar {x}}, \\\ slutt {justert}}}

Enkel lineær regresjon uten avskjæringsbegrepet (enkelt regressor) Rediger

Noen ganger er det hensiktsmessig å tvinge regresjonslinjen til å passere gjennom opprinnelsen, fordi x og y antas å være proporsjonale.For modellen uten avskjæringsbegrepet, y = βx, forenkles OLS-estimatoren for β til

β ^ = ∑ i = 1 nxiyi ∑ i = 1 nxi 2 = xy ¯ x 2 ¯ {\ displaystyle {\ widehat { \ beta}} = {\ frac {\ sum _ {i = 1} ^ {n} x_ {i} y_ {i}} {\ sum _ {i = 1} ^ {n} x_ {i} ^ {2 }}} = {\ frac {\ overline {xy}} {\ overline {x ^ {2}}}}

Hvis du erstatter (x – h, y – k) i stedet for (x, y), får du regresjon gjennom (h, k):

β ^ = (x – h) (y – k) ¯ (x – h) 2 ¯ = xy ¯ – kx ¯ – hy ¯ + hkx 2 ¯ – 2 hx ¯ + h 2 = xy ¯ – x ¯ y ¯ + (x ¯ – h) (y ¯ – k) x 2 ¯ – x ¯ 2 + (x ¯ – h) 2 = Cov ⁡ (x, y) + (x ¯ – h) (y ¯ – k) Var ⁡ (x) + (x ¯ – h) 2, {\ displaystyle {\ begin {justert} {\ widehat {\ beta}} & = {\ frac {\ overline {(xh) (yk)}} {\ overline {(xh) ^ {2}}}} \\ & = {\ frac {{\ overline {xy}} – k {\ bar {x}} – h {\ bar {y}} + hk} {{\ overline {x ^ {2}}} – 2t {\ bar {x} } + h ^ {2}}} \\ & = {\ frac {{\ overline {xy}} – {\ bar {x}} {\ bar {y}} + ({\ bar {x}} – h) ({\ bar {y}} – k)} {{\ overline {x ^ {2} }} – {\ bar {x}} ^ {2} + ({\ bar {x}} – h) ^ {2}}} \\ & = {\ frac {\ operatorname {Cov} (x, y) + ({\ bar {x}} – h) ({\ bar {y}} – k)} {\ operatorname {Var} (x) + ({\ bar { x}} – h) ^ {2}}}, \ end {justert}}}

der Cov og Var refererer til kovariansen og variansen til eksempeldataene (ukorrigert for skjevhet).

Det siste skjemaet ovenfor viser hvordan flytting av linjen vekk fra massepunktet til datapunktene påvirker skråningen.