Vegye figyelembe a modellfüggvényt

y = α + β x, {\ displaystyle y = \ alpha + \ beta x,}

amely lejtős vonalat ír le β és y-metszet α. Általában egy ilyen összefüggés nem biztos, hogy a független és függő változók értékeinek nagyrészt nem figyelt populációjára vonatkozik; a fenti egyenlettől nem figyelt eltéréseket hibának nevezzük. Tegyük fel, hogy n adapárt figyelünk meg, és hívjuk {(xi, yi), i = 1, …, n} -nek. Leírhatjuk az yi és xi közötti mögöttes kapcsolatot, amely magában foglalja ezt az εi hibatagot:

y i = α + β x i + ε i. {\ displaystyle y_ {i} = \ alpha + \ beta x_ {i} + \ varepsilon _ {i}.}

Ezt a valódi (de nem megfigyelt) α és β paraméter és az adatpont közötti kapcsolatot a lineáris regressziós modell.

ε ^ i = yi – α – β xi. {\ displaystyle {\ widehat {\ varepsilon}} _ {i} = y_ {i} – \ alpha – \ beta x_ {i}.} Keresse meg min α, β Q (α, β), Q (α, β ) = ∑ i = 1 n ε ^ i 2 = ∑ i = 1 n (yi – α – β xi) 2. {\ displaystyle {\ text {Find}} \ min _ {\ alpha, \, \ beta} Q (\ alpha, \ beta), \ quad {\ text {for}} Q (\ alpha, \ beta) = \ összeg _ {i = 1} ^ {n} {\ widehat {\ varepsilon}} _ {i} ^ {\, 2} = \ sum _ {i = 1} ^ {n} (y_ {i} – \ alfa – \ beta x_ {i}) ^ {2} \.} α ^ = y ¯ – (β ^ x ¯), β ^ = ∑ i = 1 n (xi – x ¯) (yi – y ¯) ∑ i = 1 n (xi – x ¯) 2 = sx, ysx 2 = rxysysx. {\ textstyle {\ begin {aligned} {\ widehat {\ alpha}} & = {\ bar {y}} – ({\ widehat {\ beta}} \, { \ bar {x}}), \\ {\ widehat {\ beta}} & = {\ frac {\ sum _ {i = 1} ^ {n} (x_ { i} – {\ bar {x}}) (y_ {i} – {\ bar {y}})} {\ sum _ {i = 1} ^ {n} (x_ {i} – {\ bar {x }}) ^ {2}}} \\ & = {\ frac {s_ {x, y}} {s_ {x} ^ {2}}} \\ & = r_ {xy} {\ frac {s_ {y}} {s_ {x}}}. \\\ end {aligned}}}

Itt bemutattuk

Az α ^ {\ displaystyle {\ widehat {\ alpha}}} és a β ^ {\ displaystyle {\ widehat {\ beta}}} fenti kifejezések helyettesítése a következőre:

f = α ^ + β ^ x, {\ displaystyle f = {\ widehat {\ alpha}} + {\ widehat {\ beta}} x,}

hozama

f – y ¯ sy = rxyx – x ¯ sx. {\ displaystyle {\ frac {f – {\ bar {y}}} {s_ {y}}} = r_ {xy} {\ frac {x – {\ bar {x}}} {s_ {x}}} .}

Ez azt mutatja, hogy az rxy a standardizált adatpontok regressziós vonalának meredeksége (és hogy ez a vonal áthalad az origón).

Az x ¯ {\ displaystyle {\ bar {általánosítása x}}} jelöléssel vízszintes sávot írhatunk egy kifejezés fölé, hogy jelezzük a kifejezés átlagos értékét a minták halmazán. Például:

x y ¯ = 1 n ∑ i = 1 n x i y i. {\ displaystyle {\ overline {xy}} = {\ frac {1} {n}} \ sum _ {i = 1} ^ {n} x_ {i} y_ {i}.}

Ez a jelölés lehetővé teszi számunkra tömör képlet rxy-hez:

rxy = xy ¯ – x ¯ y ¯ (x 2 ¯ – x ¯ 2) (y 2 ¯ – y ¯ 2). {\ displaystyle r_ {xy} = {\ frac {{\ overline {xy}} – {\ bar {x}} {\ bar {y}}} {\ sqrt {\ balra ({\ overline {x ^ {2 }}} – {\ bar {x}} ^ {2} \ right) \ bal ({\ overline {y ^ {2}}} – {\ bar {y}} ^ {2} \ right)}}} .}

A determinációs együttható (“R négyzet”) egyenlő az rxy 2 {\ displaystyle r_ {xy} ^ {2}}, ha a modell lineáris egyetlen független változóval. További részletekért lásd a korrelációs együttható mintáját.

Intuitív magyarázatEdit

β ^ = ∑ i = 1 n (xi – x ¯) (yi – y ¯) ∑ i = 1 n (xi – x ¯) 2 = ∑ i = 1 n (xi – x ¯) 2 ∗ (yi – y ¯) (xi – x ¯) ∑ i = 1 n (xi – x ¯) 2 {\ displaystyle {\ begin {aligned} {\ widehat {\ beta}} & = {\ frac {\ sum _ {i = 1} ^ {n} (x_ {i} – {\ bar {x}} ) (y_ {i} – {\ bar {y}})} {\ sum _ {i = 1} ^ {n} (x_ {i} – {\ bar {x}}) ^ {2}}} = {\ frac {\ sum _ {i = 1} ^ {n} (x_ {i} – {\ bar {x}}) ^ {2} * {\ frac {(y_ {i} – {\ bar {y }})} {(x_ {i} – {\ bar {x}})}}} {\ sum _ {i = 1} ^ {n} (x_ {i} – {\ bar {x}}) ^ {2}}} \\\ end {aligned}}} α ^ = y ¯ – β ^ x ¯, {\ displaystyle {\ begin {aligned} {\ widehat {\ alpha}} & = {\ bar {y}} – {\ widehat {\ beta}} \, {\ bar {x}}, \\\ end {aligned}}}

Egyszerű lineáris regresszió elfogási kifejezés nélkül (egyszeres regresszor) Szerkesztés

Néha helyénvaló a regressziós egyenes áthaladására kényszeríteni az origót, mert feltételezzük, hogy x és y arányosak.Az y = βx metszett tag nélküli modell esetében a β OLS-becslője leegyszerűsödik: \ beta}} = {\ frac {\ sum _ {i = 1} ^ {n} x_ {i} y_ {i}} {\ sum _ {i = 1} ^ {n} x_ {i} ^ {2 }}} = {\ frac {\ overline {xy}} {\ overline {x ^ {2}}}}}

Az (x – h, y – k) (x, y) helyett történő behelyettesítése regresszió (h, k) keresztül:

β ^ = (x – h) (y – k) ¯ (x – h) 2 ¯ = xy ¯ – kx ¯ – hy ¯ + hkx 2 ¯ – 2 hx ¯ + h 2 = xy ¯ – x ¯ y ¯ + (x ¯ – h) (y ¯ – k) x 2 ¯ – x ¯ 2 + (x ¯ – h) 2 = Cov ⁡ (x, y) + (x ¯ – h) (y ¯ – k) Var ⁡ (x) + (x ¯ – h) 2, {\ displaystyle {\ begin {aligned} {\ widehat {\ beta}} & = {\ frac {\ overline {(xh) (yk)}} {\ overline {(xh) ^ {2}}}} \\ & = {\ frac {{\ overline {xy}} – k {\ bar {x}} – h {\ bar {y}} + hk} {{\ overline {x ^ {2}}} – 2h {\ bar {x} } + h ^ {2}}} \\ & = {\ frac {{\ overline {xy}} – {\ bar {x}} {\ bar {y}} + ({\ bar {x}} – h) ({\ bar {y}} – k)} {{\ overline {x ^ {2} }} – {\ bar {x}} ^ {2} + ({\ bar {x}} – h) ^ {2}}} \\ & = {\ frac {\ operátornév {Cov} (x, y) + ({\ bar {x}} – h) ({\ bar {y}} – k)} {\ operátornév {Var} (x) + ({\ bar { x}} – h) ^ {2}}}, \ end {aligned}}}

ahol a Cov és a Var a minta adatok kovarianciájára és varianciájára utal (torzítás nélkül nem korrigálva).

A fenti utolsó forma bemutatja, hogy a vonal elmozdulása az adatpontok tömegközéppontjától hogyan befolyásolja a meredekséget.