Considérons la fonction modèle

y = α + β x, {\ displaystyle y = \ alpha + \ beta x,}

qui décrit une ligne avec pente β et ordonnée à l’origine α. En général, une telle relation peut ne pas être exacte pour la population largement non observée de valeurs des variables indépendantes et dépendantes; nous appelons les écarts non observés par rapport à l’équation ci-dessus les erreurs. Supposons que nous observions n paires de données et les appelions {(xi, yi), i = 1, …, n}. Nous pouvons décrire la relation sous-jacente entre yi et xi impliquant ce terme d’erreur εi par

y i = α + β x i + ε i. {\ displaystyle y_ {i} = \ alpha + \ beta x_ {i} + \ varepsilon _ {i}.}

Cette relation entre les vrais (mais non observés) paramètres sous-jacents α et β et les points de données est appelée a modèle de régression linéaire.

ε ^ i = yi – α – β xi. {\ displaystyle {\ widehat {\ varepsilon}} _ {i} = y_ {i} – \ alpha – \ beta x_ {i}.} Trouver min α, β Q (α, β), pour Q (α, β ) = ∑ i = 1 n ε ^ i 2 = ∑ i = 1 n (yi – α – β xi) 2. {\ displaystyle {\ text {Rechercher}} \ min _ {\ alpha, \, \ beta} Q (\ alpha, \ beta), \ quad {\ text {pour}} Q (\ alpha, \ beta) = \ somme _ {i = 1} ^ {n} {\ widehat {\ varepsilon}} _ {i} ^ {\, 2} = \ sum _ {i = 1} ^ {n} (y_ {i} – \ alpha – \ beta x_ {i}) ^ {2} \.} α ^ = y ¯ – (β ^ x ¯), β ^ = ∑ i = 1 n (xi – x ¯) (yi – y ¯) ∑ i = 1 n (xi – x ¯) 2 = sx, ysx 2 = rxysysx. {\ textstyle {\ begin {aligné} {\ widehat {\ alpha}} & = {\ bar {y}} – ({\ widehat {\ beta}} \, { \ bar {x}}), \\ {\ widehat {\ beta}} & = {\ frac {\ sum _ {i = 1} ^ {n} (x_ { i} – {\ bar {x}}) (y_ {i} – {\ bar {y}})} {\ sum _ {i = 1} ^ {n} (x_ {i} – {\ bar {x }}) ^ {2}}} \\ & = {\ frac {s_ {x, y}} {s_ {x} ^ {2}}} \\ & = r_ {xy} {\ frac {s_ {y}} {s_ {x}}}. \\\ end {aligné}}}

Ici, nous avons présenté

En remplaçant les expressions ci-dessus par α ^ {\ displaystyle {\ widehat {\ alpha}}} et β ^ {\ displaystyle {\ widehat {\ beta}}} par

f = α ^ + β ^ x, {\ displaystyle f = {\ widehat {\ alpha}} + {\ widehat {\ beta}} x,}

donne

f – y ¯ sy = rxyx – x ¯ sx. {\ displaystyle {\ frac {f – {\ bar {y}}} {s_ {y}}} = r_ {xy} {\ frac {x – {\ bar {x}}} {s_ {x}}} .}

Ceci montre que rxy est la pente de la droite de régression des points de données normalisés (et que cette ligne passe par l’origine).

Généraliser le x ¯ {\ displaystyle {\ bar { x}}}, nous pouvons écrire une barre horizontale sur une expression pour indiquer la valeur moyenne de cette expression sur l’ensemble des échantillons. Par exemple:

x y ¯ = 1 n ∑ i = 1 n x i y i. {\ displaystyle {\ overline {xy}} = {\ frac {1} {n}} \ sum _ {i = 1} ^ {n} x_ {i} y_ {i}.}

Cette notation nous permet une formule concise pour rxy:

rxy = xy ¯ – x ¯ y ¯ (x 2 ¯ – x ¯ 2) (y 2 ¯ – y ¯ 2). {\ displaystyle r_ {xy} = {\ frac {{\ overline {xy}} – {\ bar {x}} {\ bar {y}}} {\ sqrt {\ left ({\ overline {x ^ {2 }}} – {\ bar {x}} ^ {2} \ right) \ left ({\ overline {y ^ {2}}} – {\ bar {y}} ^ {2} \ right)}}} .}

Le coefficient de détermination (« R au carré ») est égal à rxy 2 {\ displaystyle r_ {xy} ^ {2}} lorsque le modèle est linéaire avec une seule variable indépendante. Voir l’exemple de coefficient de corrélation pour plus de détails.

Explication intuitive Modifier

β ^ = ∑ i = 1 n (xi – x ¯) (yi – y ¯) ∑ i = 1 n (xi – x ¯) 2 = ∑ i = 1 n (xi – x ¯) 2 ∗ (yi – y ¯) (xi – x ¯) ∑ i = 1 n (xi – x ¯) 2 {\ displaystyle {\ begin {aligné} {\ widehat {\ beta}} & = {\ frac {\ sum _ {i = 1} ^ {n} (x_ {i} – {\ bar {x}} ) (y_ {i} – {\ bar {y}})} {\ sum _ {i = 1} ^ {n} (x_ {i} – {\ bar {x}}) ^ {2}}} = {\ frac {\ sum _ {i = 1} ^ {n} (x_ {i} – {\ bar {x}}) ^ {2} * {\ frac {(y_ {i} – {\ bar {y }})} {(x_ {i} – {\ bar {x}})}}} {\ sum _ {i = 1} ^ {n} (x_ {i} – {\ bar {x}}) ^ {2}}} \\\ end {aligné}}} α ^ = y ¯ – β ^ x ¯, {\ displaystyle {\ begin {aligné} {\ widehat {\ alpha}} & = {\ bar {y}} – {\ widehat {\ beta}} \, {\ bar {x}}, \\\ end {aligné}}}

Régression linéaire simple sans le terme d’interception (régresseur unique) Edit

Parfois, il est approprié de forcer la droite de régression à passer par l’origine, car x et y sont supposés proportionnels.Pour le modèle sans le terme d’interception, y = βx, l’estimateur OLS pour β se simplifie en

β ^ = ∑ i = 1 nxiyi ∑ i = 1 nxi 2 = xy ¯ x 2 ¯ {\ displaystyle {\ widehat { \ beta}} = {\ frac {\ sum _ {i = 1} ^ {n} x_ {i} y_ {i}} {\ sum _ {i = 1} ^ {n} x_ {i} ^ {2 }}} = {\ frac {\ overline {xy}} {\ overline {x ^ {2}}}}}

Remplacer (x – h, y – k) à la place de (x, y) donne le régression par (h, k):

β ^ = (x – h) (y – k) ¯ (x – h) 2 ¯ = xy ¯ – kx ¯ – hy ¯ + hkx 2 ¯ – 2 hx ¯ + h 2 = xy ¯ – x ¯ y ¯ + (x ¯ – h) (y ¯ – k) x 2 ¯ – x ¯ 2 + (x ¯ – h) 2 = Cov ⁡ (x, y) + (x ¯ – h) (y ¯ – k) Var ⁡ (x) + (x ¯ – h) 2, {\ displaystyle {\ begin {aligné} {\ widehat {\ beta}} & = {\ frac {\ overline {(xh) (yk)}} {\ overline {(xh) ^ {2}}}} \\ & = {\ frac {{\ overline {xy}} – k {\ bar {x}} – h {\ bar {y}} + hk} {{\ overline {x ^ {2}}} – 2h {\ bar {x} } + h ^ {2}}} \\ & = {\ frac {{\ overline {xy}} – {\ bar {x}} {\ bar {y}} + ({\ bar {x}} – h) ({\ bar {y}} – k)} {{\ overline {x ^ {2} }} – {\ bar {x}} ^ {2} + ({\ bar {x}} – h) ^ {2}}} \\ & = {\ frac {\ operatorname {Cov} (x, y) + ({\ bar {x}} – h) ({\ bar {y}} – k)} {\ operatorname {Var} (x) + ({\ bar { x}} – h) ^ {2}}}, \ end {aligné}}}

où Cov et Var font référence à la covariance et à la variance des données de l’échantillon (non corrigées pour le biais).

Le dernier formulaire ci-dessus montre comment l’éloignement de la ligne du centre de gravité des points de données affecte la pente.