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Qu’est-ce que la distribution de Poisson?

Une distribution de Poisson est un outil qui permet de prédire la probabilité que certains événements se produisent lorsque vous savez à quelle fréquence l’événement s’est produit. Il nous donne la probabilité qu’un nombre donné d’événements se produise dans un intervalle de temps fixe.

Distributions de Poisson, valides uniquement pour les entiers sur l’axe horizontal. λ (également écrit μ) est le nombre prévu d’occurrences d’événements.

Utilisations pratiques de la distribution de Poisson

Un magasin de manuels loue en moyenne 200 livres chaque samedi nuit. En utilisant ces données, vous pouvez prédire la probabilité que davantage de livres se vendront (peut-être 300 ou 400) les samedis soirs suivants. Un autre exemple est le nombre de convives dans un certain restaurant chaque jour. Si le nombre moyen de convives pendant sept jours est de 500, vous pouvez prédire la probabilité qu’un certain jour ait plus de clients.

Grâce à cette application, les distributions de Poisson sont utilisées par les hommes d’affaires pour faire des prévisions sur le nombre de clients. clients ou ventes certains jours ou saisons de l’année. En affaires, le surstockage entraînera parfois des pertes si les marchandises ne sont pas vendues. De même, avoir trop peu de stocks signifierait toujours une opportunité commerciale perdue car vous ne pouviez pas maximiser vos ventes en raison d’une pénurie de stock. En utilisant cet outil, les hommes d’affaires sont en mesure d’estimer le moment où la demande est inhabituellement plus élevée, afin qu’ils puissent acheter plus de stock. Les hôtels et les restaurants pourraient se préparer à un afflux de clients, embaucher des travailleurs temporaires supplémentaires à l’avance, acheter plus de fournitures ou faire des plans d’urgence au cas où ils ne pourraient pas accueillir leurs clients qui viennent dans la région.
Avec la distribution Poisson, les entreprises peuvent ajuster l’offre à la demande afin de maintenir leur entreprise à un bon profit. De plus, le gaspillage de ressources est évité.

Calcul de la distribution de Poisson

La distribution de Poisson pmf est: P (x; μ ) = (e-μ * μx) / x!

Où:

• Le symbole « ! » est une factorielle.
• μ (le nombre attendu d’occurrences) s’écrit parfois λ. Parfois appelé taux d’événement ou paramètre de taux.

Exemple de question

Le nombre moyen de tempêtes majeures dans votre ville est de 2 par an. Quelle est la probabilité qu’exactement 3 tempêtes frappent votre ville l’année prochaine?

Étape 1: Déterminez les composants dont vous avez besoin mettre dans l’équation.

Étape 2: Insérez les valeurs de l’étape 1 dans la formule de distribution de Poisson:

• P (x; μ) = (e-μ) (μx) / x!
• = (2,71828 – 2) (23) / 3!
• = (0.13534) (8) / 6
• = 0.180

La probabilité de 3 tempêtes l’année prochaine est de 0,180, soit 18%

Comme vous pouvez probablement le constater, vous pouvez calculer la distribution de Poisson manuellement, mais cela prendrait un temps extraordinaire à moins que vous n’ayez un ensemble simple de données. La méthode habituelle pour calculer une distribution de Poisson en situation réelle ns est avec un logiciel comme IBM SPSS.

Distribution de Poisson vs Binomiale

L’exemple ci-dessus a été trop simplifié pour vous montrer comment résoudre un problème. Cependant, il peut être difficile de déterminer si vous devez utiliser une distribution binomiale ou une distribution de Poisson. Si votre instructeur ne vous a pas donné de directive spécifique, utilisez la directive générale suivante.

• Si votre question a une probabilité moyenne qu’un événement se produise par unité (c’est-à-dire par unité de temps, cycle, événement) et que vous souhaitez trouver la probabilité qu’un certain nombre d’événements se produisent dans une période de temps (ou nombre d’événements), puis utilisez la distribution de Poisson.
• Si vous avez une probabilité exacte et que vous voulez trouver la probabilité que l’événement se produise un certain nombre de fois sur x (c’est-à-dire 10 fois sur 100, ou 99 fois sur 1000), utilisez la formule de distribution binomiale.

Primes et la distribution de Poisson

Il y a un lien entre le Poisson distribution et le théorème des nombres premiers: De courts intervalles de nombres premiers prennent la forme approximative d’une distribution de Poisson.

La formule de distribution de Poisson est: P (x; μ) = (e-μ) (μx) / x!

Disons que x (comme dans la fonction de comptage premier est un très grand nombre, comme x = 10100. Si vous choisissez un nombre aléatoire inférieur supérieure ou égale à x, la probabilité que ce nombre soit premier est d’environ 0,43%.De plus, si vous rendez cet intervalle très court, avec μx > 0 et j inférieur à environ 20, alors le nombre de nombres premiers dans l’intervalle suit approximativement une distribution de Poisson (Croot, 2010).

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