Sandsynlighedsfordelinger >

Hvad er Poisson-distributionen?

En Poisson-distribution er et værktøj, der hjælper med at forudsige sandsynligheden for, at visse begivenheder sker, når du ved, hvor ofte begivenheden har fundet sted. Det giver os sandsynligheden for, at et givet antal begivenheder sker i et fast tidsinterval.

Poisson-fordelinger, kun gyldige for heltal på den vandrette akse. λ (også skrevet som μ) er det forventede antal begivenhedsforekomster.

Praktiske anvendelser af Poisson-distributionen

En lærebogbutik lejer i gennemsnit 200 bøger hver lørdag nat. Ved hjælp af disse data kan du forudsige sandsynligheden for, at flere bøger vil sælge (måske 300 eller 400) de følgende lørdag aften. Et andet eksempel er antallet af spisesteder i en bestemt restaurant hver dag. Hvis det gennemsnitlige antal spisende gæster i syv dage er 500, kan du forudsige sandsynligheden for, at en bestemt dag får flere kunder.

På grund af denne applikation bruges Poisson-distributioner af forretningsfolk til at lave prognoser om antallet af kunder eller salg på bestemte dage eller årstider. I erhvervslivet vil overlagring undertiden betyde tab, hvis varerne ikke sælges. Ligeledes ville det have en mistet forretningsmulighed at have for få aktier, fordi du ikke var i stand til at maksimere dit salg på grund af mangel på lager. Ved at bruge dette værktøj er forretningsmænd i stand til at estimere det tidspunkt, hvor efterspørgslen er usædvanligt højere, så de kan købe mere aktier. Hoteller og restauranter kunne forberede sig på en tilstrømning af kunder, de kunne ansætte ekstra midlertidigt ansatte på forhånd, købe flere forsyninger eller udarbejde beredskabsplaner, hvis de ikke kunne rumme deres gæster, der kommer til området.
Med Poisson-distributionen, virksomheder kan tilpasse udbuddet til efterspørgslen for at holde deres forretning med god fortjeneste. Derudover forhindres spild af ressourcer.

Beregning af Poisson-fordelingen

Poisson-fordelingen pmf er: P (x; μ ) = (e-μ * μx) / x!

Hvor:

• Symbolet “!” er en faktor.
• μ (det forventede antal forekomster) skrives undertiden som λ. Nogle gange kaldes begivenhedshastigheden eller hastighedsparameteren.

Eksempel på spørgsmål

Det gennemsnitlige antal større storme i din by er 2 om året. Hvad er sandsynligheden for, at nøjagtigt 3 storme rammer din by næste år?

Trin 1: Find ud af de komponenter, du har brug for sæt i ligningen.

Trin 2: Sæt værdierne fra trin 1 i Poisson-fordelingsformlen:

• P (x; μ) = (e-μ) (μx) / x!
• = (2.71828 – 2) (23) / 3!
• = (0.13534) (8) / 6
• = 0.180

Sandsynligheden for 3 storme der sker næste år er 0,180 eller 18%

Som du sikkert kan se, kan du beregne Poisson-fordelingen manuelt, men det ville tage ekstraordinær tid, medmindre du har et simpelt sæt data. Den sædvanlige måde at beregne en Poisson-fordeling i det virkelige liv ns er med software som IBM SPSS.

Poisson-distribution versus binomial

Ovenstående eksempel blev forenklet for at vise dig, hvordan du arbejder igennem et problem. Det kan dog være udfordrende at finde ud af, om du skal bruge en binomialfordeling eller en Poisson-distribution. Hvis du ikke får en specifik retningslinje fra din instruktør, skal du bruge følgende generelle retningslinje.

• Hvis dit spørgsmål har en gennemsnitlig sandsynlighed for, at en begivenhed sker pr. enhed (dvs. pr. tidsenhed, cyklus, begivenhed), og du vil finde sandsynligheden for, at et bestemt antal begivenheder sker i en periode af tid (eller antal begivenheder), brug derefter Poisson-fordelingen.
• Hvis du får en nøjagtig sandsynlighed, og du vil finde sandsynligheden for, at begivenheden sker et bestemt antal gange x ud (dvs. 10 gange ud af 100 eller 99 gange ud af 1000), brug formlen Binomialfordeling.

Primer og Poisson-fordelingen

Der er en forbindelse mellem Poisson fordeling og primtaltalteorem: Korte intervaller af primtal falder i den omtrentlige form af en Poisson-fordeling.

Poisson-fordelingsformlen er: P (x; μ) = (e-μ) (μx) / x!

Lad os sige, at x (som i primtællingsfunktionen er et meget stort tal, som x = 10100. Hvis du vælger et tilfældigt tal, der er mindre lig med eller lig med x, er sandsynligheden for, at tallet er prime omkring 0,43 procent.Desuden, hvis du gør dette interval meget kort med μx > 0 og j under ca. 20, følger antallet af primtaller i intervallet nogenlunde en Poisson-fordeling (Croot, 2010).

———————————- ——————————————–

Brug for hjælp til et hjemmearbejde eller testspørgsmål? Med Chegg Study kan du få trinvise løsninger på dine spørgsmål fra en ekspert inden for området. Dine første 30 minutter med en Chegg-vejleder er gratis!