Zvažte modelovou funkci

y = α + β x, {\ displaystyle y = \ alpha + \ beta x,}

, která popisuje přímku se sklonem β a y-průsečík α. Obecně takový vztah nemusí platit přesně pro převážně nepozorovanou populaci hodnot nezávislých a závislých proměnných; nepozorované odchylky od výše uvedené rovnice nazýváme chybami. Předpokládejme, že pozorujeme n datových párů a říkáme jim {(xi, yi), i = 1, …, n}. Můžeme popsat základní vztah mezi yi a xi zahrnující tento chybový člen εi pomocí

y i = α + β x i + ε i. {\ displaystyle y_ {i} = \ alpha + \ beta x_ {i} + \ varepsilon _ {i}.}

Tento vztah mezi skutečnými (ale nepozorovanými) základními parametry α a β a datovými body se nazývá a lineární regresní model.

ε ^ i = yi – α – β xi. {\ displaystyle {\ widehat {\ varepsilon}} _ {i} = y_ {i} – \ alpha – \ beta x_ {i}.} Najděte min α, β Q (α, β), pro Q (α, β ) = ∑ i = 1 n ε ^ i 2 = ∑ i = 1 n (yi – α – β xi) 2. {\ displaystyle {\ text {Najít}} \ min _ {\ alpha, \, \ beta} Q (\ alpha, \ beta), \ quad {\ text {pro}} Q (\ alpha, \ beta) = \ součet _ {i = 1} ^ {n} {\ widehat {\ varepsilon}} _ {i} ^ {\, 2} = \ sum _ {i = 1} ^ {n} (y_ {i} – \ alpha – \ beta x_ {i}) ^ {2} \.} α ^ = y ¯ – (β ^ x ¯), β ^ = ∑ i = 1 n (xi – x ¯) (yi – y ¯) ∑ i = 1 n (xi – x ¯) 2 = sx, ysx 2 = rxysysx. {\ textstyle {\ begin {aligned} {\ widehat {\ alpha}} & = {\ bar {y}} – ({\ widehat {\ beta}} \, { \ bar {x}}), \\ {\ widehat {\ beta}} & = {\ frac {\ sum _ {i = 1} ^ {n} (x_ { i} – {\ bar {x}}) (y_ {i} – {\ bar {y}})}} {\ sum _ {i = 1} ^ {n} (x_ {i} – {\ bar {x }}) ^ {2}}} \\ & = {\ frac {s_ {x, y}} {s_ {x} ^ {2}}} \\ & = r_ {xy} {\ frac {s_ {y}} {s_ {x}}}. \\\ end {align}}}}

Zde jsme představili

Nahrazení výše uvedených výrazů pro α ^ {\ displaystyle {\ widehat {\ alpha}}} a β ^ {\ displaystyle {\ widehat {\ beta}}} do

f = α ^ + β ^ x, {\ displaystyle f = {\ widehat {\ alpha}} + {\ widehat {\ beta}} x,}

výnosy

f – y ¯ sy = rxyx – x ¯ sx. {\ displaystyle {\ frac {f – {\ bar {y}}} {s_ {y}}} = r_ {xy} {\ frac {x – {\ bar {x}}} {s_ {x}}} .}

To ukazuje, že rxy je sklon regresní přímky standardizovaných datových bodů (a že tato přímka prochází počátkem).

Zobecnění x ¯ {\ displaystyle {\ bar { x}}} notace, můžeme napsat výraz přes vodorovnou čáru, abychom označili průměrnou hodnotu tohoto výrazu nad množinou vzorků. Například:

x y ¯ = 1 n ∑ i = 1 n x i y i. {\ displaystyle {\ overline {xy}} = {\ frac {1} {n}} \ sum _ {i = 1} ^ {n} x_ {i} y_ {i}.}

Tato notace nám umožňuje stručný vzorec pro rxy:

rxy = xy ¯ – x ¯ y ¯ (x 2 ¯ – x ¯ 2) (y 2 ¯ – y ¯ 2). {\ displaystyle r_ {xy} = {\ frac {{\ \ overline {xy}} – {\ bar {x}} {\ bar {y}}} {\ sqrt {\ left ({\ overline {x ^ {2 }}} – {\ bar {x}} ^ {2} \ right) \ left ({\ overline {y ^ {2}}} – {\ bar {y}} ^ {2} \ right)}}} .}

Koeficient determinace („R na druhou“) se rovná rxy 2 {\ displaystyle r_ {xy} ^ {2}}, když je model lineární s jedinou nezávislou proměnnou. Další podrobnosti najdete v korelačním koeficientu vzorku.

Intuitivní vysvětlení Upravit

β ^ = ∑ i = 1 n (xi – x ¯) (yi – y ¯) ∑ i = 1 n (xi – x ¯) 2 = ∑ i = 1 n (xi – x ¯) 2 ∗ (yi – y ¯) (xi – x ¯) ∑ i = 1 n (xi – x ¯) 2 {\ displaystyle {\ begin {zarovnáno} {\ widehat {\ beta}} & = {\ frac {\ sum _ {i = 1} ^ {n} (x_ {i} – {\ bar {x}} ) (y_ {i} – {\ bar {y}})}} {\ sum _ {i = 1} ^ {n} (x_ {i} – {\ bar {x}}) ^ {2}}} = {\ frac {\ sum _ {i = 1} ^ {n} (x_ {i} – {\ bar {x}}) ^ {2} * {\ frac {(y_ {i} – {\ bar {y }})} {(x_ {i} – {\ bar {x}})}}} {\ sum _ {i = 1} ^ {n} (x_ {i} – {\ bar {x}}) ^ {2}}} \\\ end {aligned}}} α ^ = y ¯ – β ^ x ¯, {\ displaystyle {\ begin {align}} {\ widehat {\ alpha}} & = {\ bar {y}} – {\ widehat {\ beta}} \, {\ bar {x}}, \\\ end {align}}}

Jednoduchá lineární regrese bez úsečky (jediný regresor) Upravit

Někdy je vhodné vynutit, aby regresní čára prošla počátkem, protože se předpokládá, že x a y jsou proporcionální.U modelu bez úsečného výrazu y = βx se odhad OLS pro β zjednodušuje na \ beta}} = {\ frac {\ sum _ {i = 1} ^ {n} x_ {i} y_ {i}} {\ sum _ {i = 1} ^ {n} x_ {i} ^ {2 }}} = {\ frac {\ overline {xy}} {\ overline {x ^ {2}}}}}

Nahrazení (x – h, y – k) místo (x, y) dává regrese přes (h, k):

β ^ = (x – h) (y – k) ¯ (x – h) 2 ¯ = xy ¯ – kx ¯ – hy ¯ + hkx 2 ¯ – 2 hx ¯ + h 2 = xy ¯ – x ¯ y ¯ + (x ¯ – h) (y ¯ – k) x 2 ¯ – x ¯ 2 + (x ¯ – h) 2 = Cov ⁡ (x, y) + (x ¯ – h) (y ¯ – k) Var ⁡ (x) + (x ¯ – h) 2, {\ displaystyle {\ begin {aligned} {\ widehat {\ beta}} & = {\ frac {\ overline {(xh) (yk)}} {\ overline {(xh) ^ {2}}}} \\ & = {\ frac {{\ overline {xy}} – k {\ bar {x}} – h {\ bar {y}} + hk} {{\ overline {x ^ {2}}} – 2 h {\ bar {x} } + h ^ {2}}} \\ & = {\ frac {{\ \ overline {xy}} – {\ bar {x}} {\ bar {y}} + ({\ bar {x}} – h) ({\ bar {y}} – k)} {{\ overline {x ^ {2} }} – {\ bar {x}} ^ {2} + ({\ bar {x}} – h) ^ {2}}} \\ & = {\ frac {\ operatorname {Cov} (x, y) + ({\ bar {x}} – h) ({\ bar {y}} – k)} {\ operatorname {Var} (x) + ({\ bar { x}} – h) ^ {2}}}, \ end {aligned}}}

kde hodnoty Cov a Var odkazují na kovarianci a rozptyl vzorových dat (nekorigováno pro zkreslení).

Poslední výše uvedený formulář ukazuje, jak posunutí čáry od těžiště datových bodů ovlivňuje sklon.