Rozważmy funkcję modelu

y = α + β x, {\ displaystyle y = \ alpha + \ beta x,}

, która opisuje linię z nachyleniem β i punkt przecięcia z osią y α. Generalnie taka zależność może nie dotyczyć dokładnie w dużej mierze nieobserwowanej populacji wartości zmiennych niezależnych i zależnych; Nieobserwowane odchylenia od powyższego równania nazywamy błędami. Załóżmy, że obserwujemy n par danych i nazywamy je {(xi, yi), i = 1, …, n}. Możemy opisać podstawową zależność między yi i xi obejmującą ten składnik błędu εi przez

y i = α + β x i + ε i. {\ Displaystyle y_ {i} = \ alpha + \ beta x_ {i} + \ varepsilon _ {i}.}

Ta zależność między prawdziwymi (ale niezauważonymi) parametrami podstawowymi α i β i punktami danych nazywa model regresji liniowej.

ε ^ i = yi – α – β xi. {\ Displaystyle {\ widehat {\ varepsilon}} _ {i} = y_ {i} – \ alfa – \ beta x_ {i}.} Znajdź min α, β Q (α, β), dla Q (α, β ) = ∑ i = 1 n ε ^ i 2 = ∑ i = 1 n (yi – α – β xi) 2. {\ displaystyle {\ text {Find}} \ min _ {\ alpha, \, \ beta} Q (\ alpha, \ beta), \ quad {\ text {for}} Q (\ alpha, \ beta) = \ sum _ {i = 1} ^ {n} {\ widehat {\ varepsilon}} _ {i} ^ {\, 2} = \ sum _ {i = 1} ^ {n} (y_ {i} – \ alpha – \ beta x_ {i}) ^ {2} \.} α ^ = y ¯ – (β ^ x ¯), β ^ = ∑ i = 1 n (xi – x ¯) (yi – y ¯) ∑ i = 1 n (xi – x ¯) 2 = sx, ysx 2 = rxysysx. {\ textstyle {\ begin {aligned} {\ widehat {\ alpha}} & = {\ bar {y}} – ({\ widehat {\ beta}} \, { \ bar {x}}), \\ {\ widehat {\ beta}} & = {\ frac {\ sum _ {i = 1} ^ {n} (x_ { i} – {\ bar {x}}) (y_ {i} – {\ bar {y}})} {\ sum _ {i = 1} ^ {n} (x_ {i} – {\ bar {x }}) ^ {2}}} \\ & = {\ frac {s_ {x, y}} {s_ {x} ^ {2}}} \\ & = r_ {xy} {\ frac {s_ {y}} {s_ {x}}}. \\\ end {aligned}}}

Tutaj wprowadziliśmy

Podstawiając powyższe wyrażenia dla α ^ {\ displaystyle {\ widehat {\ alpha}}} i β ^ {\ displaystyle {\ widehat {\ beta}}} w

f = α ^ + β ^ x, {\ displaystyle f = {\ widehat {\ alpha}} + {\ widehat {\ beta}} x,}

daje

f – y ¯ sy = rxyx – x ¯ sx. {\ displaystyle {\ frac {f – {\ bar {y}}} {s_ {y}}} = r_ {xy} {\ frac {x – {\ bar {x}}} {s_ {x}}} .}

To pokazuje, że rxy jest nachyleniem linii regresji standardowych punktów danych (i że ta linia przechodzi przez początek).

Uogólniając x ¯ {\ displaystyle {\ bar { x}}}, możemy napisać poziomą kreskę nad wyrażeniem, aby wskazać średnią wartość tego wyrażenia w zbiorze próbek. Na przykład:

x y ¯ = 1 n ∑ i = 1 n x i y i. {\ displaystyle {\ overline {xy}} = {\ frac {1} {n}} \ sum _ {i = 1} ^ {n} x_ {i} y_ {i}.}

Ta notacja pozwala nam zwięzły wzór na rxy:

rxy = xy ¯ – x ¯ y ¯ (x 2 ¯ – x ¯ 2) (y 2 ¯ – y ¯ 2). {\ displaystyle r_ {xy} = {\ Frac {{\ overline {xy}} – {\ bar {x}} {\ bar {y}}} {\ sqrt {\ left ({\ overline {x ^ {2 }}} – {\ bar {x}} ^ {2} \ right) \ left ({\ overline {y ^ {2}}} – {\ bar {y}} ^ {2} \ right)}}} .}

Współczynnik determinacji („R do kwadratu”) jest równy rxy 2 {\ displaystyle r_ {xy} ^ {2}}, gdy model jest liniowy z jedną zmienną niezależną. Zobacz przykładowy współczynnik korelacji, aby uzyskać dodatkowe informacje.

Intuicyjne wyjaśnienieEdytuj

β ^ = ∑ i = 1 n (xi – x ¯) (yi – y ¯) ∑ i = 1 n (xi – x ¯) 2 = ∑ ja = 1 n (xi – x ¯) 2 ∗ (yi – y ¯) (xi – x ¯) ∑ ja = 1 n (xi – x ¯) 2 {\ Displaystyle {\ zaczynać {wyrównane} {\ widehat {\ beta}} & = {\ frac {\ sum _ {i = 1} ^ {n} (x_ {i} – {\ bar {x}} ) (y_ {i} – {\ bar {y}})} {\ sum _ {i = 1} ^ {n} (x_ {i} – {\ bar {x}}) ^ {2}}} = {\ frac {\ sum _ {i = 1} ^ {n} (x_ {i} – {\ bar {x}}) ^ {2} * {\ frac {(y_ {i} – {\ bar {y }})} {(x_ {i} – {\ bar {x}})}}} {\ sum _ {i = 1} ^ {n} (x_ {i} – {\ bar {x}}) ^ {2}}} \\\ koniec {wyrównane}}} α ^ = y ¯ – β ^ x ¯, {\ Displaystyle {\ rozpocząć {wyrównane} {\ widehat {\ alpha}} & = {\ bar {y}} – {\ widehat {\ beta}} \, {\ bar {x}}, \\\ end {aligned}}}

Prosta regresja liniowa bez wyrazu przecięcia (pojedynczy regresor) Edytuj

Czasami konieczne jest wymuszenie przejścia linii regresji przez punkt początkowy, ponieważ zakłada się, że xiy są proporcjonalne.Dla modelu bez wyrazu przecięcia, y = βx, estymator OLS dla β upraszcza do

β ^ = ∑ ja = 1 nxiyi ∑ ja = 1 nxi 2 = xy ¯ x 2 ¯ {\ displaystyle {\ widehat { \ beta}} = {\ frac {\ sum _ {i = 1} ^ {n} x_ {i} y_ {i}} {\ sum _ {i = 1} ^ {n} x_ {i} ^ {2 }}} = {\ frac {\ overline {xy}} {\ overline {x ^ {2}}}}}

Podstawienie (x – h, y – k) zamiast (x, y) daje regresja przez (h, k):

β ^ = (x – h) (y – k) ¯ (x – h) 2 ¯ = xy ¯ – kx ¯ – hy ¯ + hkx 2 ¯ – 2 hx ¯ + h 2 = xy ¯ – x ¯ y ¯ + (x ¯ – h) (y ¯ – k) x 2 ¯ – x ¯ 2 + (x ¯ – h) 2 = Cov ⁡ (x, y) + (x ¯ – h) (y ¯ – k) Var ⁡ (x) + (x ¯ – h) 2, {\ Displaystyle {\ rozpocząć {wyrównane} {\ widehat {\ beta}} & = {\ frac {\ overline {(xh) (yk)}} {\ overline {(xh) ^ {2}}}} \\ & = {\ frac {{\ overline {xy}} – k {\ bar {x}} – h {\ bar {y}} + hk} {{\ overline {x ^ {2}}} – 2h {\ bar {x} } + h ^ {2}}} \\ & = {\ frac {{\ overline {xy}} – {\ bar {x}} {\ bar {y}} + ({\ bar {x}} – h) ({\ bar {y}} – k)} {{\ overline {x ^ {2} }} – {\ bar {x}} ^ {2} + ({\ bar {x}} – h) ^ {2}}} \\ & = {\ frac {\ operatorname {Cov} (x, y) + ({\ bar {x}} – h) ({\ bar {y}} – k)} {\ operatorname {Var} (x) + ({\ bar { x}} – h) ^ {2}}}, \ end {aligned}}}

gdzie Cov i Var odnoszą się do kowariancji i wariancji danych próbki (nieskorygowanych o odchylenie).

Ostatnia powyższa forma pokazuje, jak odsunięcie linii od środka masy punktów danych wpływa na nachylenie.