Considera la funzione modello

y = α + β x, {\ displaystyle y = \ alpha + \ beta x,}

che descrive una retta con pendenza β e y-intercetta α. In generale una tale relazione potrebbe non valere esattamente per la popolazione di valori largamente inosservata delle variabili indipendenti e dipendenti; chiamiamo errori le deviazioni non osservate dall’equazione precedente. Supponiamo di osservare n coppie di dati e di chiamarle {(xi, yi), i = 1, …, n}. Possiamo descrivere la relazione sottostante tra yi e xi che coinvolge questo termine di errore εi con

y i = α + β x i + ε i. {\ Displaystyle y_ {i} = \ alpha + \ beta x_ {i} + \ varepsilon _ {i}.}

Questa relazione tra i parametri sottostanti veri (ma non osservati) α e β e i punti dati è chiamata a modello di regressione lineare.

ε ^ i = yi – α – β xi. {\ displaystyle {\ widehat {\ varepsilon}} _ {i} = y_ {i} – \ alpha – \ beta x_ {i}.} Trova min α, β Q (α, β), per Q (α, β ) = ∑ i = 1 n ε ^ i 2 = ∑ i = 1 n (yi – α – β xi) 2. {\ displaystyle {\ text {Trova}} \ min _ {\ alpha, \, \ beta} Q (\ alpha, \ beta), \ quad {\ text {for}} Q (\ alpha, \ beta) = \ sum _ {i = 1} ^ {n} {\ widehat {\ varepsilon}} _ {i} ^ {\, 2} = \ sum _ {i = 1} ^ {n} (y_ {i} – \ alpha – \ beta x_ {i}) ^ {2} \.} α ^ = y ¯ – (β ^ x ¯), β ^ = ∑ i = 1 n (xi – x ¯) (yi – y ¯) ∑ i = 1 n (xi – x ¯) 2 = sx, ysx 2 = rxysysx. {\ textstyle {\ begin {align} {\ widehat {\ alpha}} & = {\ bar {y}} – ({\ widehat {\ beta}} \, { \ bar {x}}), \\ {\ widehat {\ beta}} & = {\ frac {\ sum _ {i = 1} ^ {n} (x_ { i} – {\ bar {x}}) (y_ {i} – {\ bar {y}})} {\ sum _ {i = 1} ^ {n} (x_ {i} – {\ bar {x }}) ^ {2}}} \\ & = {\ frac {s_ {x, y}} {s_ {x} ^ {2}}} \\ & = r_ {xy} {\ frac {s_ {y}} {s_ {x}}}. \\\ end {align}}}

Qui abbiamo introdotto

Sostituendo le espressioni precedenti per α ^ {\ displaystyle {\ widehat {\ alpha}}} e β ^ {\ displaystyle {\ widehat {\ beta}}} in

f = α ^ + β ^ x, {\ displaystyle f = {\ widehat {\ alpha}} + {\ widehat {\ beta}} x,}

restituisce

f – y ¯ sy = rxyx – x ¯ sx. {\ displaystyle {\ frac {f – {\ bar {y}}} {s_ {y}}} = r_ {xy} {\ frac {x – {\ bar {x}}} {s_ {x}}} .}

Questo mostra che rxy è la pendenza della linea di regressione dei punti dati standardizzati (e che questa linea passa per l’origine).

Generalizzando la x ¯ {\ displaystyle {\ bar { x}}}, possiamo scrivere una barra orizzontale su un’espressione per indicare il valore medio di quell’espressione sull’insieme di campioni. Ad esempio:

x y ¯ = 1 n ∑ i = 1 n x i y i. {\ displaystyle {\ overline {xy}} = {\ frac {1} {n}} \ sum _ {i = 1} ^ {n} x_ {i} y_ {i}.}

Questa notazione ci consente una formula concisa per rxy:

rxy = xy ¯ – x ¯ y ¯ (x 2 ¯ – x ¯ 2) (y 2 ¯ – y ¯ 2). {\ displaystyle r_ {xy} = {\ frac {{\ overline {xy}} – {\ bar {x}} {\ bar {y}}} {\ sqrt {\ left ({\ overline {x ^ {2 }}} – {\ bar {x}} ^ {2} \ right) \ left ({\ overline {y ^ {2}}} – {\ bar {y}} ^ {2} \ right)}}} .}

Il coefficiente di determinazione (“R quadrato”) è uguale a rxy 2 {\ displaystyle r_ {xy} ^ {2}} quando il modello è lineare con una singola variabile indipendente. Vedere il coefficiente di correlazione campione per ulteriori dettagli.

Spiegazione intuitiva Modifica

β ^ = ∑ i = 1 n (xi – x ¯) (yi – y ¯) ∑ i = 1 n (xi – x ¯) 2 = ∑ i = 1 n (xi – x ¯) 2 ∗ (yi – y ¯) (xi – x ¯) ∑ i = 1 n (xi – x ¯) 2 {\ displaystyle {\ begin {allineato} {\ widehat {\ beta}} & = {\ frac {\ sum _ {i = 1} ^ {n} (x_ {i} – {\ bar {x}} ) (y_ {i} – {\ bar {y}})} {\ sum _ {i = 1} ^ {n} (x_ {i} – {\ bar {x}}) ^ {2}}} = {\ frac {\ sum _ {i = 1} ^ {n} (x_ {i} – {\ bar {x}}) ^ {2} * {\ frac {(y_ {i} – {\ bar {y }})} {(x_ {i} – {\ bar {x}})}}} {\ sum _ {i = 1} ^ {n} (x_ {i} – {\ bar {x}}) ^ {2}}} \\\ end {align}}} α ^ = y ¯ – β ^ x ¯, {\ displaystyle {\ begin {align} {\ widehat {\ alpha}} & = {\ bar {y}} – {\ widehat {\ beta}} \, {\ bar {x}}, \\\ end {align}}}

Regressione lineare semplice senza il termine di intercetta (regressore singolo) Modifica

A volte è appropriato forzare il passaggio della retta di regressione attraverso l’origine, perché si presume che x e y siano proporzionali.Per il modello senza il termine di intercetta, y = βx, lo stimatore OLS per β si semplifica in

β ^ = ∑ i = 1 nxiyi ∑ i = 1 nxi 2 = xy ¯ x 2 ¯ {\ displaystyle {\ widehat { \ beta}} = {\ frac {\ sum _ {i = 1} ^ {n} x_ {i} y_ {i}} {\ sum _ {i = 1} ^ {n} x_ {i} ^ {2 }}} = {\ frac {\ overline {xy}} {\ overline {x ^ {2}}}}}

Sostituendo (x – h, y – k) al posto di (x, y) si ottiene il regressione attraverso (h, k):

β ^ = (x – h) (y – k) ¯ (x – h) 2 ¯ = xy ¯ – kx ¯ – hy ¯ + hkx 2 ¯ – 2 hx ¯ + h 2 = xy ¯ – x ¯ y ¯ + (x ¯ – h) (y ¯ – k) x 2 ¯ – x ¯ 2 + (x ¯ – h) 2 = Cov ⁡ (x, y) + (x ¯ – h) (y ¯ – k) Var ⁡ (x) + (x ¯ – h) 2, {\ displaystyle {\ begin {align} {\ widehat {\ beta}} & = {\ frac {\ overline {(xh) (yk)}} {\ overline {(xh) ^ {2}}}} \\ & = {\ frac {{\ overline {xy}} – k {\ bar {x}} – h {\ bar {y}} + hk} {{\ overline {x ^ {2}}} – 2h {\ bar {x} } + h ^ {2}}} \\ & = {\ frac {{\ overline {xy}} – {\ bar {x}} {\ bar {y}} + ({\ bar {x}} – h) ({\ bar {y}} – k)} {{\ overline {x ^ {2} }} – {\ bar {x}} ^ {2} + ({\ bar {x}} – h) ^ {2}}} \\ & = {\ frac {\ operatorname {Cov} (x, y) + ({\ bar {x}} – h) ({\ bar {y}} – k)} {\ operatorname {Var} (x) + ({\ bar { x}} – h) ^ {2}}}, \ end {align}}}

dove Cov e Var si riferiscono alla covarianza e alla varianza dei dati del campione (non corretta per bias).

L’ultimo modulo sopra mostra come lo spostamento della linea dal centro di massa dei punti dati influisce sulla pendenza.